23 07 14

Pagina 1

parte B Analisi Matematica II - 23 luglio 2014 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1 . Discutere e risolvere quando possibile, al variare del para metro reale k, il seguente sistema:   kx + (k 2 − 1)y = 1 x + ky − z = 0 y − kz = k È opportuno mettere il sistema in forma matriciale Au = c dove A =   k k 2 − 1 0 1 k −1 0 1 −k   ; il vettore delle incognite u =   x y z   ; il vettore dei termini noti c =   1 0 k   Adesso è det A = k(1 − k 2) + k(k2 − 1) = 0 , ∀k r(A) = 2 , infatti det  k k 2 − 1 1 k = k2 + 1 − k2 = 1 quindi dim ker(A) = 3 − r(A) = 1 . Consideriamo la matrice C = [A|c] =   k k 2 − 1 0 1 1 k −1 0 0 1 −k k   le due sottomatrici di tipo (3, 3) che orlano il minore  k k 2 − 1 1 k sono C1 =   k k 2 − 1 0 1 k −1 0 1 −k   C 2 =   k k 2 − 1 1 1 k 0 0 1 k   ma C 1 = A che ha determinate 0. Rimane C2 : det C2 = k det  k 0 1 k − det  k2 − 1 1 1 k = k3 − k3 + k + 1 Se k = −1 il rango di C rimane (per il Teorema di Kronecher) uguale a 2. Se k = −1 il rango di C aumenta e non ci sono soluzioni. Quindi se k = −1 il sistema diventa:   −x = 1 x − y − z = 0 y + z = −1 e le soluzioni sono: (x = −1; y = −z − 1; z = t). 1 Esercizio 2 Sia F (x, y) = sin 2 x + y sin y. 2.i Verificare che in un intorno del punto ( π 2 , π) l’insieme di livello 1 di F è il grafico di una e una sola funzione y = y(x). F ∈ C ∞(R2). l’insieme di livello è sin2 x + y sin y − 1 = 0 . (1) Fx = 2 sin x cos x; Fy = sin y + y cos y. Fx( π 2 , π) = 2 sin π 2 cos π 2 = 0; Fy( π 2 , π) = sin π + π cos π = −π = 0 Per il teorema del Dini l’equazione (1) definisce in un intorn o di ( π 2 , π) una funzione C 1(I), y = y(x) dove I è un intervallo opportuno π 2 −…