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Probabilit` a e Statistica — 28.06.2023 Cognome Nome Matricola· o codice persona Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Studenti DSA: solo prime SETTE domande . Domanda 1. Supponiamo che parcheggiando l’auto nuova (appena acquistata!) a fianco di un’altra, la pro- babilit` a di trovarla rigata quando torno a riprenderla sia 0.05. Supponendo gli eventi “rigature” indipendenti, la probabilit` a di trovarla rigata se parcheggio con a fianco altre DUE auto ` e V Fz0.10 V Fz0.25 V Fz 0.0975 V Fz0.1025 Domanda 2. Sia T uno stimatore di κ(θ) = eθ che ha errore quadratico medio MSEθ[T ]< +∞. Allora V FzMSEθ(T ) = Eθ[(T−θ)2] V Fz Se Eθ(T ) = eθ allora MSEθ(T ) = Vθ(T ) V FzMSEθ(T ) = Vθ(T) n +θ V Fz MSEθ(T ) = V(T ) + ( Eθ(T )− eθ)2 Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria continua con densit` a: f(x) = { a/x3 se x> 1 0 altrimenti V Fz a = 2 V Fz E(X) = 2 V FzLa mediana di X ` e uguale a 2. Domanda 4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con massa (o densit` a) congiunta: X =−1 X = 0 X = 1 Y =−1 (1−θ)/3 θ/4 (2− 3θ)/6 Y = 1 θ/3 θ/4 1/3 V Fz0≤θ≤ 1 V Fz 0≤θ≤ 2/3. V Fz E(X) = 1 3− θ 2 V Fz P{Y 2 = 1} = 1 3 + 7θ 12. Domanda 5. SiaX una variabile aleatoria normale di media µ =−2 e varianza σ2 = 1. V Fz P{−3≤X≤− 1)≈ 0.68 V Fz P(X≤−a) = 0.975⇒ a≈ 0.04. V FzY = 2−X∼N (2, 1). Domanda 6. Sia (X1,X 2) variabili aleatorie normali con E(X1) = 2, E(X2) = 0, V(X1) = 1, V(X2) = 4, Cov(X1,X 2) =−1. V Fz il coefficiente di correlazione ` eρ(X1,X 2) =−0.5 V FzX1−X2∼N (2, 5) V FzX2 2∼N(0, 16) V Fz Cov(4X1 +X2,X 2) = 0. Domanda 7. Per un dato campione, un test di ipotesi ha p-value = 0.043. V Fz con significativit` aα =…