24 01 20

Pagina 1

Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale - A Gennaio 2020 Cognome: Nome: Matricola: IMPOR T ANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [5 punti ] Risolvere il sistema lineare    x + y 3z + t = 1 y + 2t = 0 x + 3z 3t = 3: Svolgimento. La matrice completa del sistema ` e   1 1 3 1 1 0 1 0 2 0 1 0 3 3 3   : Operando una riduzione a scala, tramite l’eliminazione di Gauss, otteniamo   1 1 3 1 1 0 1 0 2 0 0 1 6 4 2   !   1 1 3 1 1 0 1 0 2 0 0 0 6 2 2   : Il rango della matrice dei coefficienti del sistema e il rango della matrice completa coincidono e valgono 3, il sistema ha 11 soluzioni. Ponendo t = , dall’ultima equazione si ricava z = 1 3 + 1 3 ; sostituendo nella seconda equazione si trova y = 2 e infine x = 2 + 2. 1 Esercizio 2. [5 punti ] Sia T : R3 ! R3 l’applicazione lineare definita da T (x; y; z) = ( x+y; y+z; x z). i) Trovare nucleo e immagine di T e una base di ciascuno; ii) dire se il vettore (1 ; 1; 0) appartiene all’immagine; iii) trovare gli autovalori di T e dire se T ` e diagonalizzabile. Svolgimento. i) Il nucleo di T ` e l’insieme delle soluzioni del sistema x + y = 0; y + z = 0; x z = 0, cio` e il sottospazio di R3 formato dai vettori ( ; ; ) al variare di in R. Una base del nucleo ` e formata dal vettore (1 ; 1; 1). La matrice rappresentativa di T rispetto alla base canonica di R3 ` e A =   1 1 0 0 1 1 1 0 1   : La dimensione di Im T ` e uguale al rango di A che vale 2. L’immagine di T ` e il sottospazio di R3 generato dalle prime due colonne di A, cio` e ImT = f (1; 0; 1) + (1; 1; 0) : ; 2 Rg = f( + ; ; ) : ; 2 Rg. Una base ` e formata dai vettori (1 ; 0; 1) e (1; 1; 0). ii) Il vettore (1 ; 1; 0) appartiene all’immagine. iii) Gli autovalori di T sono le soluzioni dell’equazione (2  1) =…