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Analisi Matematica [083475], esame del 25/06/2013 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Si consideri la funzione f (x) = x2− x + 1 x2 Si determini il suo dominio di definizione D(f ) = R\{ 0}. Si determinino eventuali parità, disparità e periodicità della funzione. Nessuna parità né periodicità. Si calcolino i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Per quanto riguarda i limiti abbiamo: lim x→±∞ f (x) = 1 , lim x→0± f (x) = +∞. Non ci sono asintoti obliqui. Si studi la derivata prima dif. Poiché f′(x) = x− 2 x3 , il punto criticox = 2 è un punto di minimo e la funzione è crescente perx < 0 e x > 2 ed è decrescente per 0 < x < 2. Si studi la derivata secondaf′′(x). Poiché f′′(x) =−2x + 6 x4 , si ha un flesso inx = 3 e la funzione risulta convessa perx < 3 e concava perx > 3. Si disegni il grafico approssimativo della funzione. 1 y x2 3 2. Si calcoli il limite lim x→0 ex− 1− x 3 sin2 x lim x→0 ex− 1− x 3 sin2 x = lim x→0 1 2 x2 + o(x2) 3x2 + o(x2) = 1 6 . 3. Si calcolino gli integrali ∫ x2e3xdx, ∫ cos2 xdx. Per quanto riguarda il primo, operando per parti si ha ∫ x2e3xdx = 1 3 x2e3x− 2 3 ∫ xe3xdx = 1 3 x2e3x− 2 9 xe3x + 2 9 ∫ e3xdx = 1 3 x2e3x− 2 9 xe3x + 2 27 e3x. Per quanto riguarda il secondo integrale, dalle uguaglianze ∫ cos2 xdx = ∫ (1− sin2 x)dx = x + sin x cos x− ∫ cos2 xdx, si ottiene ∫ cos2 xdx = x + sin x cos x 2 . 4. Si studi il carattere delle serie ∑ n n− sin n√ n5 + 2 , ∑ n 1 + 2 cos n n2 + 4 . Per quanto riguarda la prima serie, usiamo il criterio del confronto asintotico: n− sin n√ n5 + 2 ∼ n n5/2 = 1 n3/2 , poiché 3 2 > 1, la serie converge. Per quanto riguarda la seconda serie, è a termini di segno qualsiasi (dunque i…