27 04 18 svolto

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Fondamenti di Automatica Prof. Luca Bascetta Primo prova intermedia 27 Aprile 2018 ESERCIZIO 1 E’ assegnato il sistema dinamico, a tempo continuo, lineare e invariante con ingresso u(t) e uscita y(t): { ˙x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) in cui A = [−1 1 0 α ] B = [0 1 ] C = [ 1 0 ] D = 0 1. Si indichino i valori del parametro α∈ R per cui: (a) il sistema ` e asintoticamente stabile. Il polinomio caratteristico del sistema dinamico ` e χ(λ) = ( λ + 1) (λ−α), esso ha quindi due autovaloriλ1 =−1 e λ2 =α. Il sistema ` e quindi asintoticamente stabile perα< 0. (b) il sistema ha uscita di equilibrio y(t) = ¯y = 1 in corrispondenza dell’ingresso costante u(t) = ¯u = 1. All’equilibrio le equazioni del sistema diventano − ¯x1 + ¯x2 = 0 α¯x2 + 1 = 0 ¯y = ¯x1 = 1 Dalla prima equazione si ricava, quindi, ¯x2 = ¯x1 = 1 e dalla seconda α =−1. (c) il sistema ha funzione di trasferimento con due costanti di tempo τ1 = 1 s e τ2 = 2 s. Trasformando le equazioni del sistema a partire da stato iniziale nullo si ottiene (s + 1)X1(s) =X2(s) (s−α)X2(s) =U(s) Y (s) =X1(s) da cui si ricava la seguente funzione di trasferimento G(s) = 1 (s + 1) (s−α) = −α (1 +s) ( 1− 1 αs ) Le costanti di tempo sono quindi τ1 = 1 s e τ2 =− 1 α s. Si conclude quindi che deve essere α =−0.5. (d) il sistema ` e completamente raggiungibile. La matrice di raggiungibilit` a ha la seguente espressione KR = [0 1 1 α ] Il determinante di KR ` e pari a−1 indipendentemente dal valore di α. Si conclude, quindi, che il sistema ` e completamente raggiungibile∀α. (e) il sistema ` e completamente osservabile. La matrice di osservabilit` a ha la seguente espressione KO = [1 −1 0 1 ] Il determinante di KO ` e pari a 1 indipendentemente dal valore diα. Si conclude, quindi, che il sistema ` e completamente osservabile∀α. 2.…