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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 3 - 29 settembre 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si considerino due successioni indipendenti di variabili {Xi}i∈ N e {Yi}i∈ N, ciascuna di esse i.i.d. con distribuzioni di Bernoulli di parametro p e q rispettivamente. Si consideri la seguente successione di variabili {Zi}i∈ N cos ` ı definite Zi := { Xi se Yi = 1 1 − Xi se Yi = 0. Si potrebbe dimostrare che le variabili {Zi}i∈ N sono indipendenti; assumete quindi tale propriet` a. 1. Specificare e riconoscere la legge delle variabili {Zi}i∈ N. 2. Chiamate h il solito parametro della legge delle variabili {Zi}i∈ N; per quali valori di q ` e possibile ricavare p da h? Scrivere esplicitamente p in funzione di h e q. 3. Si consideri ora una moneta con probabilit` a p di uscita “testa”. Paolo lancia 200 volte la moneta ed un dado equilibrato (contemporaneamente). Se esce 1 oppure 2 s ul dado allora Paolo ci comunica quello che ` e uscito sulla moneta; se invece esce un numero maggiore di 2 allora Paolo mente e ci comunica il risultato opposto rispetto a quello realmente uscito sulla moneta. Paolo ci dice che ` e uscita 80 volte testa. Sia Zi la variabile che vale 1 se Paolo ci dice che ` e uscita testa al l ancio i-esimo e 0 altrimenti. Stimare h da questi dati. Fornire anche un intervallo di confidenza al 9 5% per h. 4. Aiutandovi con il risultato del punto (2), stimare p puntualmente e attraverso un intervallo di confi- denza al 95%. 5. `E plausibile ritenere che la probabilit` a che esca testa sul la moneta sia superiore a 1/2? ( Sugg. utilizzare il punto (2) per riscrivere la condizione in funzione di h). 1 Soluzione. 1. Abbiamo due processi di Bernoulli…