30 Agosto Esercizi

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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale Appello - Agosto 2023 Cognome: Nome: Matricola: IMPOR T ANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. [ 4 punti ] Sia TA l’applicazione lineare indotta dalla seguente matrice A =     2 3 − 2 3 4 − 6 7 1 0 6 3 2 − 4 0 7 − 4     . (i) Scrivere l’immagine TA(x, y, z, w) del generico elemento (x, y, z, w) ∈ R4. (ii) Stabilire se TA risulta iniettiva; (iii) stabilire se TA risulta suriettiva; (iv) senza calcolare il polinomio caratteristico , verificare che 0 è autovalore dell’applicazione TA e stabilirne la sua molteplicità geometrica. Soluzione: (i) L’immagine del generico elemento (x, y, z, w) ∈ R4 è TA(x, y, z, w) = A ·     x y z w     =     2x + 3y − 2z + 3w 4x − 6y + 7z + w 6y + 3z + 2w − 4x + 7z − 4w     . (ii) Applicando l’eliminazione di Gauss alla matrice A si ottiene B :=     2 3 − 2 3 0 − 12 11 − 5 0 0 17 − 1 0 0 0 0     . A vendo la matrice tre pivots, ne deduciamo che dim ImA = 3 e, dunque, per il teorema della nullità più rango, dim kerA = 4 − 3 = 1 . Essendo il nucleo un sottospazio vettoriale di dimensione 1, l’applicazione lineare indotta dalla matrice A risulta non iniettiva. (iii) Essendo la matrice A quadrata, l’applicazione indotta da A è suriettiva se e solo se è iniettiva. In questo caso, dunque, non risulta nemmeno suriettiva. Notiamo che questo si può anche dedurre dal fatto che la dimensione dell’immagine è 3, strettamente minore della dimensione dello spazio di arrivo. (iv) Per verificare che 0 è autovalore non calcoliamo il polinomio caratteristico, ma usiamo la definizione: 0 è autovalore di TA se esiste un vettore v ∈ R4 \ { 0} tale che TA(v) = 0 ·v = 0. La molteplicità geo- metrica dell’autovalore è per definizione la dimensione…