Appello 20220114 sol

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Fondamenti di Automatica (cod. 085905) Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Alunni iscritti da PJ a ZZ Prof. Lorenzo Fagiano Anno Accademico 2020-2021 Esame del 14 gennaio 2022 NOME «CognomeNome» CODICE PERSONA «Codice_persona» • Motivare brevemente ma in modo esauriente la risposta fornita ad ogni quesito, riportando tutti i passaggi svolti per ottenere tale risposta. • Utilizzare, per lo svolgimento degli esercizi, fogli bianchi e fogli con diagramma semi-logaritmico. • Attenersi alle indicazioni fornite dal docente sullo svolgimento dell’esame (da remoto o in presenza). • Non si possono consultare libri, appunti, dispense, ecc. • Si raccomandano chiarezza, precisione e concisione nelle risposte. 1. Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni: 𝑥̇ (𝑡) = [ −2 𝛼𝑡2 1 0 −1 2 𝛿𝑥1(𝑡) 0 −1 ] 𝑥(𝑡) + [ 1 0 0 1 0 0 ] 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = [1 0 0] 𝑥(𝑡) 𝑡 ∈ ℝ; 𝑥 ∈ ℝ3; 𝑢 ∈ ℝ2; 𝛼, 𝛿 ∈ ℝ 1.a) [Max. 2 punti] Siano 𝛼 = 3, 𝛿 = 5. Rispondere alle seguenti domande: • il sistema è lineare? • il sistema è statico? • il sistema è tempo invariante? • il sistema è MIMO? 1.b) [Max. 2 punti] Siano 𝛼 = 0, 𝛿 = 1. Calcolare stato/i e uscita/e di equilibrio del sistema a fronte di ingresso costante 𝑢̅ = [1 1]. 1.c) [Max. 2 punti] Siano 𝛼 = 0, 𝛿 = 4. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad un generico equilibrio (𝑥̅, 𝑢̅). 1.d) [Max. 2 punti] Siano 𝛼 = 0, 𝛿 = 0. Valutare la stabilità del sistema e scrivere le equazioni dei modi. 1.e) [Max. 3 punti] Siano 𝛼 = 0, 𝛿 = 0. Calcolare l’espressione analitica del movimento libero dell’uscita a fronte di condizioni iniziali 𝑥(0) = [ 1 1 2 ]. Inoltre, dire, giustificando la risposta, se tale movimento dipende dal valore di 𝑥2(0). 2. Si consideri un sistema SISO LTI di ordine due con funzione di trasferimento: 𝐺(𝑠) = 25 𝑠2 + 3𝑠 + 25…