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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca I Prova in Itinere - 13 aprile 2019 Nome e cognome: Matricola: ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. 12957 Esercizio 1 Si consideri la famiglia di funzioni fc(n) := { c=n! n 2 N 0 altrimenti dove c 2 R. Nei punti seguenti potrebbe essere utile ricordare che ∑1 n=0 xn=n! = exp( x) per ogni x 2 R. 1. Si trovino tutti i valori di c 2 R tali che fc sia una densità discreta (potrebbe anche essercene uno solo). 2. Per ogni valore di c trovato al punto precedente, detta X una variabile aleatoria con tale densità, sapete riconoscere la legge di X? 3. Calcolare P(X  2) e P(X  3jX  2). 4. Calcolare il valore atteso di X. 5.  Calcolare il valore atteso di tX per ogni t 2 R. 1 Soluzione. 1. La condizione fc(n)  0 per ogni n 2 N equivale a c  0. Tuttavia essendo il segno di fc univocamente determinato da c basta che ∑1 n=0 fc(n) = 1 per garantire che anche la condizione di non-negatività sia soddisfatta. Quindi 1 = ∑ n2N fc(n) = c
e da cui si ha l’unica soluzione c = exp( 1). 2. X  P (1). 3. P(X  2) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = 1 2 exp( 1)  0:264241118. P(X  3jX  2) = P(3  X  2jX  2) = (1 =2 + 1=6)=(exp(1) 2)  0:928140794. 4. Si sa che il valore atteso di una Poisson di parametro  è pari a , pertanto in questo caso E[X] = 1 . È possibile anche tramite calcolo diretto E[X] = ∑ n2N n exp( 1)=n! = 1∑ n=1 exp( 1)=(n 1)! = exp( 1) exp(1) = 1 : 5. Dalla formula E[g(X)] = ∑ x g(x)fX (x) (se ∑ x jg(x)jfX (x) < +1, convergenza assoluta) si ha che E[tX ] = ∑ n2N tn exp( 1)=n! = exp( t 1): Il fatto che converga per t > 0 implica che la formula converge utilizzando jtj e quindi vale la conver- genza assoluta (che implica la convergenza incondizionata e quindi l’esistenza del…