Appunti completi del corso

Informazioni sul documento

Università: Politecnico di Milano
Corso di laurea: Biomedical Engineering
Materia: Calcolo Numerico
Anno accademico: 2023-2024
Classificazione: Appunti · Completi
Formato originale: PDF
Testo: Testo ricercabile

Cosa trovi in questo materiale

Materiale completo di Calcolo Numerico per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: 19/04 ERRORI I APPROSSIMAZIONE PROBLEMA PROBLEMA AIGORITMO AL PROBLEMA APPROSAMAZON roberazione IMPLEMENTAZIONE > , > MATEMATICA FISICO MUMERICO CALCOLATORE ↓ ↓ ↓ ↓ em = (XF - Xm) en = (xm-Xw) ec = (Xn - Xc) XmS XC >Errore i MODEN > Xf > Xn > NUMERICO ERRORE ERRORE…

Qualità dell’importazione: il testo è stato estratto direttamente dal documento originale.

Contenuti estratti dal documento

Passaggi rappresentativi riconosciuti nelle diverse parti del materiale. Il testo completo resta presente nella pagina per la ricerca, mentre l’anteprima compatta rende più semplice la lettura.

Pagina 2

19/04 ERRORI I APPROSSIMAZIONE PROBLEMA PROBLEMA AIGORITMO AL PROBLEMA APPROSAMAZON roberazione IMPLEMENTAZIONE > , > MATEMATICA FISICO MUMERICO CALCOLATORE ↓ ↓ ↓ ↓ em = (XF - Xm) en = (xm-Xw) ec = (Xn - Xc) XmS XC >Errore i MODEN > Xf > Xn > NUMERICO ERRORE ERRORE COMPUTAZIONALE L'approssimazione numerica deve : i) PORTARE a Pr "FACUMENTE" Risolvibile - solo OPERAZIONI ELEMENTARI ii) PORTARE AD UN en "Piccolo e metodo numerico deve essere convergence ↓ CONVERCENZA : al "Amite" soluzione numerica coincide con Xm = en >0 iii) portare Ad UNA SOLUZIONE MMERICA STABILE : SE PM STABILE , AUPRA Anche PN STABILE - > SOLUZIONE MMERICA "CONTROLATA" Dal DATI 1 . RICERCA NEGU ZERI I UNA FUNZIONE PM : CERCO 2 [a b] , : f(g) = 0 CON f(x) : [a , b] -IR ; d[a , b , f] ; Xm = NOTA : G e detta zero de fo raduce dell'eque f(2) = 0 81 - Or I · C D I & per l'approssimazione numerica introduco i METOM ITERATIVI /LOCALI REGOLE PER COSTRUIRE UN METONO ITERATIVO i) saghere X"e Ta b] , di parienza > X( X" - )(X -X" SUCCESSIONE) + ii) generale una legge M AGGIORNAMENTO * - X t .... , & OBBIETTIVO : UM X"" = E (CONVERGENZA k - + a METORO I NEWTON X', genero XI * IDEA : DATO come la radice della Tangente creas ad f(x) In X 8 me · x(k X

Pagina 13

Costo COMPUTAZIONALE ~ 43 13 CONDIZIONI I APPLICABILITA DEL . M E G . . La verifica a priori delle spoten de applicabilità del Teorema Lu l' troppo costosa que essere unes un generale se calculo di n-1 (include determinanti). ESISTONO CONIZIONI SUFFICIENTI (non c N . . S) facili da verificare 1) Matrici a ROMINANZA masonale StrETTA Fi a per Righe lail] +il Per Colonne Fi di lavil> atil ↳ ESEMPIO - - 3 2 o e a p D S . . . R . (3) 2 + o , 10 34 + 1 , 7 2+ 1 ( A = U 101 non e' a D D S C. . . . 1 -2 7 - - 2) MATRICI DEFINITE POSITIVE : FEERN GAE > O SeE O PIVOTING ↳ ESEMPIO 113 - A = 22 2 ; dett + 0 -S 64 - det (Ap 2) = 0 , - - 1 1 3 (2) - ELEMENTO > PIVOTALE 10 STEP MEG A - & O 4 - a O 3 - S - S (k) al passo 1 del MEG ho una divisione per Ar . Se questo è nullo = MEG A ARRESTA IN GENERALE : Se det/Ap il , = o per un certo in ai - o e viceversa 2 I PIVOTING "CURA" Il MES rendendolo sempre ercuble (se dett + 0 IDEA : Se A = O , Scammo la Aga d I d A' con una riga is a a patto che al D ESCAMBIAME ANGE LE RIGHE MES a mo mostrare che gu scamb an ruga legati on pinting corrispondono ad applicare il M E C . . a PA con P , MATRICE I PERMUTAZIONE (Matrice Identita' con righe scambiate PA = LE -(VX pb-( AX = b - P Ax . = p b . =

Pagina 24

=> P deve essere "Umile" ad A /per soddisfare bene el requisito is) e dele avere struttura "sempuce" (per soddisfare bene il requisito ii ( ↳ ESEMPI 1) PRECONMZIONATORE M JACORI 1 - F P D D = A = - E - i) KID"A) (A) polche'd contiene informazion Su A /COSTO " ii) DE"" = ~ h 2) FATTORIZZAZIONE LE INESATTA (PER A SPARSA) Ricordiamo il FILL-IN : se A è spatisa e Le V sono piene , con A= 1 5 . IDEA : Applichiamo ad A el ME G . . ., ma "Momficato", cul'forzando lij = 0 e Mij = O se a is = 0 . Ottenano [e E Converse da Le US , Nel un A [ . F , con i) p = I . E contiene informazion A - >(P" A) K2(A) ISOMISFA IL REQUISITO Il ii) [ e E hanno la stessa sparsità de A (NOFIL-IN) ↓" T FE" I ~"I /COSTO > - P . E" = . = ~ H (Il Criterio ii) è somisfatto in Quanto il SISTEMA È M FACILE RISOLUZIONE Nota : Le costo per trolate [e ~ n P A e S D . e INVERTIBLE Associ ad Ax 1 . . . = un'energia : METONO MEL GRAMENTE CRICHARDSON MNAMICO S introduca la seguente funzione energia associata al sistema lineare Ax = I #(y) = 1 AY-yb , Ey-m se A è S D P . . E è una funzione convessa che ammette un UNICO PUNTO M MINIMO Tale minimo annulla il gradiente : VI(E) = 0 Poiché VE(y) = Ay-b * coramente nuo Soddisfa il sistema lineare di partenza = La solELONE M Al = 1 MINIMIZZA IDEA : Introduco un metodo numerico iterativo che cerchi tale mimmo recido quindi di muovermi lungo la IREZIONE M MASSIMA DECRESENTA DELI ENERGIA : - Vo Il metodo del gradiente assume come direzione de aggiornamento quella di massima decrescita dell'energia hel tunio ** X" G , 0 & (X ) + * X = - X G MPENDE DAK AX" (1X(k ** 2x + ma -VI/X" ) = b - = = + La mREZIONE I Massima MSCESA è Quella data Dal resirvO (* ) D Il metoro me gramente plò' essere interpretato come un metoro In Richardson CON PARAMETRO MINAMICO

Pagina 35

e e =1 Formalmente pongo Tr posso riscrivere la FT in forma matriciale : c = ! . f con (f)5 = f(xi) e (2) = (5 F T (4) e analogamente la IDFT in forma matriciale : = = , COSTO COMPUTAZIONALE : Poche ho un produtto matrice ventre ottengo Costr /n + 1, costo nel secolo scosso era proibitivo feil molte applicazione . Negli annu '60 è stato quer quotes calcolare i c della introdotto un nuovo metodo FTs > - FACT FOURIER TRANSFORM (FFT) ; COSTO ~Int) log In + 1) < (n + 1) ACCURATEZZA TEOREMA : Se ff("" (TO ITS) , , allora : ↑ DERIVATA CONTINA e PERIORICA M PERIODO IIT FINO ALL'ORDINE S COMPRESS max (f(x) f(x)) = c - . 1 X- TO 2) , as e-iconvergenza esponenzial Max (f(x)-F(x1) C * se fe ( /50 , 21]) & . FENOMENO DELI AUASING Qualora il numero del dati n+ 1 non na , l'interpolatore trigonometrico sufficientemente elevato non è in grado di descrivere le frequente i qui alte Ca Kmax la frequenta massima della funzione f(x) = se n2kmax , la frequenta massima dell'interpolative FIXI è nume d Kmax (allasing). S dele quindi avere < 2 max (TH M SHANNON

Pagina 47

oppure e metodo de itetazione de punto sesso applicato a : X = p(x) , p(x) = Mn + h(f(tn Mn) , + f(tn X), E' Assolutamente STABILE F : Infatt , per el PB modello si ha : Un + 1 un + h(XMn XMm 1) -Mn + 1(1 xh) un(1 m) = + + - = + =2 > - CAS I METODO I HEUN Partendo dal metodo d Crank NISon M = un + M (fltn un) , + f(tn + , Mm)) se al posto de Un Introduciamo la Ma approssimazione attenuta con el metodo de EA , i ha Un+ 1 = un + MIf(tn Un) , + fltn MUn()) , , metodo m heun Esso l un Metodo espUcito con Contizione M ASSONTA STABILITÀ UCUALE A QUETAM EA (th : -2/5) , 1 CONVERGENZA Al Crescere M P Un Metodo MMERICO è u Ordine p se Converse con emrole par : > - Il METERO AUMENTA La Su LETCHAM CONVERGENZA en = ly(tu) - Unl = Olt") In P = 1 P = I > 11h Per avere la convergenza mi serve la consistenza e la Stabilità pinemo che un metodo numerico è consistente di vidine p se vale Tn = 0/hP) Dove In è ll errore m TRONCAMENTO locale . Questo l l'etitre che sl commette introducendo la soluzione esatta nello schema . numerico y ↳ ESEMPIO E A . : Un+ 1 = Mn + hf(tn Mu) , Introducendo y > Tn = y(tnmil-y(tn)-fltn yll , y(tn) 1) Tn = y(tn+ - - f(tn y(m)) = 0(t) > - La CONSISTENZA MERIVA DALL'ACCURATEZZA DELA FORMULA M E A . . , X E A e' . consistente del 10 ordine NOTE : l'ASSOLUTA STABILITA' ANALIZZA IL COMPORTAMENTO > - DELA SOLUZIONE NUMERICA PER L FISSATO A CRESCETE M N > - La CONVERGENZA è una proprietà Mela Soluzione Numerica per I Fissato e h> 0

Anteprima

Prima pagina del documento.