Auto valuation 2020 solution A profVerri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Test di AutoValutazione (A) soluzioni 1. “∃x ∃y q (x; y)” = “ esistono due angoli complementari ” “∃x ∀y q (x; y)” = “ c' e un angolo che  e complementare di tutti gli angoli” 2. Siano x = “ professore”, y = “ studente”, p (x; y) = “ x  e antipatico a y”, p (x; y) = “ x  e simpatico ay”. Allora (a) ∀y ∀x p (x; y) (b) ∃y ∀x p (x; y) (c) ∀y ∃x p (x; y) (equivalente ad (a)) (d) ∃x ∀y p (x; y) (e) ∃y ∀x p (x; y) (negazione di (a)) (f) ∀x ∀y p (x; y) 3. Il controesempio richiesto ` e un particolare x che verifica p (x) e non verifica q (x). Giustificazione: ∀x p (x) ⇒ q (x) F ⇐ ⇒ ∀x p (x) ⇒ q (x) V ⇐ ⇒ ∃ x p (x) ⇒ q (x) V ⇐ ⇒ ∃ x p (x) ∨ q (x) V ⇐ ⇒ ∃ x p (x) ∧ q (x) V ⇐ ⇒ ∃ x p (x) ∧ q (x) V 4. La disuguaglianza ` e vera per n = 3, perch´ e 7< 8. Si ha poi per n ≥ 3 2 (n + 1) + 1 = (2 n + 1) + 2 ip: < 2n + 2 < 2n + 2n = 2 × 2n = 2 n+1 0Aggiornamento: 26 settembre 2013 M. Verri - Analisi Matematica I - Test di AutoValutazione 2 5. I sottoinsiemi di {a} sono ∅ e {a} stesso, quindi l’affermazione ` e vera per n = 1. Se poi A contiene n + 1 punti, fissato un suo elemento a, si ha A = {a} ∪ B dove B contiene i restanti n punti di A. Ma allora un sottoinsieme di A o ` e anche sottoinsieme di B (e questi, per l’ipotesi di induzione, sono 2 n) oppure ` e formato da un sottoinsieme di B unito all’elemento a (il che ` e possibile in 2 n modi). In totale, i possibili sottoinsiemi di A sono 2 n + 2n = 2 × 2n = 2 n+1. 6. Un triangolo non ha diagonali, quindi l’affermazione ` e vera per n = 3. Considerato poi un poligono non intrecciato di n + 1 lati, fissiamo un suo vertice P e chiamiamo Q ed R i vertici adiacenti. Allora le diagonali del poligono sono…