Cinematica del punto

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Appunti Argomento 1 - Cinematica del punto e del corpo rigido nel piano 1.1 Cinematica del punto nel piano Lo studio consiste nel determinare posizione, velocità ed accelerazione di un punto appartenete ad un piano, detto piano direttore . Rappresentazione cartesiana Posizione Fig.1.1 P(t) = (P-O) = ix + jy (1.1) in cui le coordinate i,j sono i versori del sistema di riferimento e x,y sono funzioni del tempo ( ) ( ) x x t y y t =  = (1.2) Velocità Derivando le (1.2) rispetto al tempo si ottiene la velocità nelle componenti cartesiane. Il vettore velocità è dato da x y = + v i j ɺ ɺ (1.3) Accelerazione Derivando le (1.3) rispetto al tempo si ottiene il vettore accelerazione x y = + a i j ɺ ɺ ɺ ɺ (1.4) Si può notare come queste due ultime espressioni no n danno ai vettori velocità e accelerazione un significato fisico evidente. Pur restando in ambito cartesiano, una loro rappresentazione più significativa si ottiene con riferimento alla traie ttoria seguita dal punto nel suo moto. L’equazione della traiettoria nella forma y=y(x) si ottiene eliminando il tempo dalle (1.2). Si consideri la posizione istantaneamente assunta da P sulla sua traiettoria. Si tracci il cerchio osculatore alla traiettoria in P, cerchio passante per P, avente la stessa tangente e la stessa curvatura della traiettoria in P. Si può allora definire la terna intrinseca ( tangente t, normale n e binormale b, terna destra) alla traiettoria in P. Il vettore spostamento elementare d s (v. Fig. 1.2) risulta allora dato da : d d ρ α =s t (1.5) Fig. 1.2 2 Derivando la (1.5) rispetto al tempo (indicato con τ), considerando che è ρ=cost . nell’istante considerato, si ottiene l’espressione della velocità d d d d α ρ ωρ τ τ = = sv t = t (1.6) che pone in evidenza come la velocità sia tangente alla traiettoria…