Collection of exercices

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1 Funzioni di due variabili: domini, insiemi di livello, limiti Esercizio 1. Domini Determinare e rappresentare graficamente gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni: 1. f(x, y) = 1√ 4− x2− y2 2. f(x, y) = arcsin (x 2 ) +√xy 3. f(x, y) = log (x + y x− y ) 4. f(x, y) = √ x2− 4 + √ 4− y2 5. f(x, y) = √ (x2 + y2− a2)(2a2− x2− y2), a > 0 6. f(x, y) = arcsin (y x ) 7. f(x, y) = log(x√y− x) xy− 1 8. f(x, y) = √ 2y− x(x−| x|) log(2− (x2 + y2)) Esercizio 2. Insiemi di livello Determinare le curve di livello delle seguenti funzioni: 1. f(x, y) = x2− y 2. f(x, y) = x2y 3. f(x, y) = y x ex 4. f(x, y) = 1−| x|−| y| 5. f(x, y) = x2− 2y2 + 2 6. f(x, y) = log(x2 + y) 7. f(x, y) = arcsin(xy) Esercizio 3. Limiti 1. Utilizzando la definizione di limite, verificare che lim (x,y)→(0,0) x4 x2 + y2 = 0. 2. Verificare che lim (x,y)→(0,0) y2 cos ( 1 xy ) = 0, lim (x,y)→(0,0) 3x3 + 2x2 + 2y2 x2 + y2 = 2. 3. Calcolare i seguenti limiti: lim (x,y)→(0,0) 1− cos(xy) x2y2 lim (x,y)→(0,2) sin(xy) x 4. Verificare che non esiste il limite per ( x, y)→ (0, 0) della funzione f(x, y) = 2x + 3y x + y . 5. Utilizzando le rette per l’origine, verificare che non esiste il limite per ( x, y)→ (0, 0) della funzione f(x, y) = xy x2 + y2 . 6. Verificare che non esiste il limite per ( x, y)→ (0, 0) della funzione f(x, y) = x2y x4 + y2 . 7. Calcolare, se esistono, i limiti seguenti utilizzando le coordinate polari lim (x,y)→(0,0) xy2 x2 + y2 lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 lim (x,y)→(0,0) x + y x− y lim (x,y)→(1,0) y2 log x (x− 1)2 + y2 Esercizio 4. Studiare la continuit´ a della seguente funzione: f(x, y) =    y2 sin x x2 + y2 se (x, y)̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0, 0) 2 Funzioni di due variabili: continuit´ a e derivabilit´ a Esercizio 1. Studiare la continuit´ a delle seguenti funzioni: 1. f(x,y ) = √ |xy| 2.…