Collection of exercises and theoretical questions

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Politecnico di Milano, CdS in Ingegneria Gestionale ANALISI MATEMATICA II (scaglione H-PI) Esercizi di Riepilogo, I IMPORTANTE Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. 1 Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare    2x1 +x2 +x3 =−2 −3x1 +x5 = 0 −x1 + 4x4 + 3x5 = 4 Svolgimento: Inoltre, sia A la matrice dei coefficienti del sistema, e sia TA : R5→ R3, TA(x) :=Ax. Determinare la dimensione di ker TA ed esibirne una base. Determinare la dimensione di Im TA ed esibirne una base. 2 Esercizio 2. E’ data la trasformazione lineare T : R3→ R3 (x,y,z )↦→ (x +y,y +z,x− 3z). Determinare la matriceA associata aT rispetto alla base canonica. SiaB ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Determinare la matrice B associata a T rispetto aB e trovare la matrice C tale che A =C−1BC. Svolgimento: 3 Esercizio 3. Sia data la curva r(t) = { 2 cos2t sin2t, t∈ [0,π/ 2]. 1. Dire se r ` e semplice, chiusa; 2. mostrare che r ` e regolare; 3. calcolare la lunghezza di r. 4 Quesito 1. Dare la definizione di sottospazio vettoriale. Fare un esempio di un sottospazio vettoriale proprio di R3 e di un sottoinsieme che non ` e sottospazio vettoriale. Risposta Quesito 2. SiaT : Rn→ Rn un endomorfismo, e supponiamo che ammettan autovalori reali e distinti di f. Dire se e perch´ eT ` e diagonalizzabile. Risposta 5