Collection of theoretical questions V2

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Davide Demartini 1) Scrivere il bilancio di quantità di moto di un fluido, utilizzando una descrizione sia Lagrangiana che Euleriana, senza assumere una specifica relazione costitutiva. Indicare poi sotto quali condizioni è possibile anche la formulazione differenziale, e derivarla Lagrange: considero il volume di fluido V(t) identificato dal confine A(t) ቀௗ ௗ௧∫ 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉௏(௧) = 0ቁ. La quantità di massa presente nel volume non cambia perché il volume si muove col fluido. La velocità di tale volume coincide con la velocità del fluido. 𝑄=න 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉 ௏(௧) (1) 𝑅=න 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑎൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉+න 𝑓൫𝑥,𝑡൯𝑑𝐴 ஺(௧)௏(௧) 𝑎 generica accelerazione. Applicando il Teorema del Trasporto di Reynolds (RTT): 𝑑 𝑑𝑡𝑄=න 𝜕𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 𝑑𝑉+න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑢(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺(௧)௏(௧) Si ottiene: න 𝜕𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 𝑑𝑉+න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑢(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺(௧)௏(௧) =න 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑎൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉+න 𝑓൫𝑥,𝑡൯𝑑𝐴 ஺(௧)௏(௧) (2) Eulero: considero il volume V*(t) identificato dal confine A*(t) che si muove indipendentemente dal fluido con velocità b(x,t) ቀௗ ௗ௧∫ 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉௏ ∗(௧) ≠ 0ቁ: 𝑑 𝑑𝑡𝑄=න 𝜕𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 𝑑𝑉+න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑏(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺∗(௧)௏ ∗(௧) (3) Come prima: න 𝜕𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 𝑑𝑉+න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑏(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺∗(௧)௏ ∗(௧) =න 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑎൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉+න 𝑓൫𝑥,𝑡൯𝑑𝐴 ஺∗(௧)௏ ∗(௧) A per ipotesi, V(t)=V*(t) (A(t)=A*(t)) all’istante t: dalla 3: න 𝜕𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 𝑑𝑉 ௏ ∗(௧) = 𝑑 𝑑𝑡𝑄−න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑏(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺∗(௧) inserisco in 2: 𝑑 𝑑𝑡𝑄−න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑏(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺∗(௧) +න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑢(𝑥,𝑡) ∙𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴 ஺∗(௧) =න 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑎൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉+න 𝑓൫𝑥,𝑡൯𝑑𝐴 ஺∗(௧)௏ ∗(௧) si ottiene quindi: 𝑑 𝑑𝑡𝑄+න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൛ൣ𝑢൫𝑥,𝑡൯−𝑏൫𝑥,𝑡൯൧∙𝑢(𝑥,𝑡)ൟ𝑛𝑑𝐴 ஺(௧)ୀ஺ ∗(௧) =න 𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑎൫𝑥,𝑡൯𝑑𝑉+න 𝑓൫𝑥,𝑡൯𝑑𝐴 ஺(௧)௏ ∗(௧) Davide Demartini Considerando V* fisso ቀ𝑏൫𝑥,𝑡൯= 0, ௗ ௗ௧∫ . . =∫ డ డ௧ቁe sostituendo la 1 si ottiene l’eq di conservazione della q.tà di moto in forma integrale: න 𝜕𝜌൫𝑥,𝑡൯𝑢൫𝑥,𝑡൯ 𝜕𝑡 𝑑𝑉 ௏ ∗ +න 𝜌൫𝑥,𝑡൯൫𝑢൫𝑥,𝑡൯∙ 𝑢(𝑥,𝑡)൯𝑛𝑑𝐴…