Completed exercises of the course

Pagina 1

ESERCITAZIONE 1 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Ripasso Calcolo vettoriale x≡Re y≡Im ¯a ¯b β 1.1 Notazioni • Notazione cartesiana: ¯a =ax¯i +ay¯j +az¯k • Notazione complessa: ¯a =ax +iay, dove i = unit` a immaginaria • Notazione polare: ¯b =beiβ, dove β =atanby bx 1.2 Operazioni • Somma vettoriale: ¯c = ¯a + ¯b = (ax +bx)¯i + (ay +by)¯j + (az +bz)¯k • Prodotto scalare: d = ¯a× ¯b = ¯a· ¯b =|a||b|cos(β) • Prodotto vettoriale: ¯e = ¯a∧ ¯b =det ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ ¯i ¯j ¯k ax ay az bx by bz ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ ,|e| =|a||b|sen(β) N.B. ¯a× ¯b = ¯b× ¯a e ¯a∧ ¯b =−¯b∧ ¯a 1.3 Esercizi di autovalutazione su WeBeep 1 2 Esercizio 1 - Legge di moto ’Minimum jerk’ Il sistema nervoso centrale programma e attua una traiettoria che minimizzi lo spazio percorso e con una legge di moto che permetta al movimento di essere il pi` u fluido possibile. La fluidit` a del movimento ` e rappresentata dal jerk: jerk =x′′′(t) = d3x(t) dt3 Pi` u il movimento ` e fluido, pi` u il valore del jerk ` e basso. Massimizzare la fluidit` a di movimento, in termini matematici, significa mimizzare il JERK COST, dove: jerkcost = ∫t=tf t=ti x′′′(t)2dx Per trovare analiticamente x(t) che minimizzi il jerk cost devo valutare il jerk cost per ogni x(t) considerata. In letteratura, il problema ` e stato affrontato utilizzando il metodo del CALCOLO DELLE VARIAZIONI (Hogan 1984), che permette di minimizzare la funzione in esame. Risol- vendo l’integrale del jerk cost per parti, si evince che x(6)=0, i.e., la derivata sesta di x(t) deve essere nulla, conducendoci quindi alla soluzione con la forma generica di un polinomio di quinto grado nella forma: x(t) =a0 +a1t +a2t2 +a3t3 +a4t4 +a5t5 ESEMPIO: Supponiamo di voler muovere la nostra mano dal punto A al punto B che distano tra di loro 67.5 centimetri in…