Course summary

Pagina 1

1 CALCOLO NUMERICO RICERCA DI RADICI IN FUNZIONI LINEARI Metodi iterativi locali I metodi iterativi si basano sulla generazione di una successione x1, …, xn che converge alla radice della funzione. lim!→#𝑥!=𝛼 , 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝛼:𝑓(𝛼)=0 Tale successione si può generare con diversi metodi: A. Metodo di Newton B. Metodo delle secanti C. Metodo delle corde A. Metodo di Newton La successione si costruisce dall’intersezione con l’asse x della tangente alla curva nel punto xk; tale successione converge alla radice a della funzione 𝑥$%&=𝑥$−𝑓3𝑥$4𝑓'(𝑥$) ´ Bisogna conoscere il valore della derivata prima della funzione per ogni xk à se non si conosce la derivata si usano il metodo delle corde o quello delle secanti B. Metodo delle secanti Anziché usare la tangente si usa la secante, quindi xk+1 si trova come intersezione con l’asse delle x della secante che passa per i punti f(xk) e f(xk-1) 𝑥$%&=𝑥$−𝑓3𝑥$4𝑠𝑒𝑐 𝑠𝑒𝑐=𝑓3𝑥$4−𝑓3𝑥$(&4𝑥$−𝑥$(& ´ Ad ogni passaggio va ricalcolata la secante C. Metodo delle corde Anziché usare la tangente si usa una retta, detta corda, che ha inclinazione costante q, in modo da non doverla aggiornate ad ogni passaggio 𝑥$%&=𝑥$−𝑓3𝑥$4𝑞 𝑞=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎 Dove a e b sono gli estremi dell’intervallo considerato, che contengono la radice a Punto fisso di una funzione I punti fissi di una funzione sono quei punti tali che l’ascissa e l’ordinata della funzione 𝜑 sono uguali, ovvero sono i punti in cui la funzione interseca la bisettrice del I e III quadrante 𝛼 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝛼=𝜙(𝛼) Si può stabilire una relazione tra funti fissi e zeri della funzione e sfruttarla per trovare le radici della funzione: 𝜙(𝛼)−𝛼=0 → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜 𝑓(𝑥)=𝜙(𝑥)−𝑥 𝜶 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒔𝒔𝒐 𝒅𝒊 𝝓(𝒙) 𝒆 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒊 𝒇(𝒙) ´ Il problema della ricerca della radice di una funzione si traduce allora nella ricerca del punto fisso (più…