Curve

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Lunedí 12, Martedí 13. Giovedí 15 e venerdí 16 Ottobre 2009 Curve in R n . . Una curva è una funzione /u03b3definita in un intervallo di R a valori in Rn. Il sostegno (o traccia) di /u03b3è definito come la immagine della funzione /u03b3. Una curva si dice che è regolare se è una funzione di classe C1, definita in un intervallo chiuso e limitato /ue0a4a, b/ue0a5tale che la sua derivata /u03b3/u2032non si annulla mai. Se /u03b3è una curva regolare in ogni punto ammette una unica retta tan gente. La equazione parametrica della retta tangente nel punto /u03b3/ue0a2t0/ue0a3è: /u03b3/ue0a2t0/ue0a3/u002b/u03b3/u2032/ue0a2t0/ue0a3/ue0a2t /u2212t0/ue0a3 La lunghezza di una curva regolare si definisce nel seguente modo: L/ue0a2/u03b3/ue0a3/u003d/u222b a b |/u03b3/u2032/ue0a2t/ue0a3|dt . La lunghezza di una curva /u03b31 è uguale alla lunghezza di una curva /u03b32 . Due curve regolari si dicono equivalenti se esiste una corri spondenza biunivoca h tra i due intervalli dove sono definite tale che sia C1 con inversa di clsse C1 e per ogni t deve valere /u03b32/ue0a2t/ue0a3/u003d/u03b31/ue0a2h/ue0a2t/ue0a3/ue0a3. Se inoltre h/u2032/u003e0 allora le due curve equivalenti sono percorse nello stesso v erso, se h/u2032/u003c0 le due curve sono percorse in senso opposto. Se due curve regolari /u03b31 e /u03b32 sono equivalenti, la lunghezza di /u03b31 è uguale alla lunghezza di /u03b32 Consideriamo una qualsiasi partizione P /u003d/ue0a6t0 /u003da /u003ct1 /u003c. . ./u003ctn /u003db/ue0a7, possiamo considare la poligonale costituita dagli n segmenti di estremi /u03b3/ue0a2ti/ue0a3e /u03b3/ue0a2ti/u002b1/ue0a3al variare di i da 0 a n /u22121.La lunghezza di questa poligonale è la somma delle lunghezz e dei suoi segmenti: /u2211 i/u003d0 n/u22121…