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Analisi Matematica II (per Ing. Biomedica). HOMEWORK 1 Esercizio 1. Si consideri la curva γ di parametrizzazione φ(t) = (t cos t − sin t, tsin t + cos t, t) t ∈ [0, 2π]. a) Mostrare che γ ` e una curva regolare. b) Determinare la massa totale M della curva γ rispetto alla densit` a lineare di massa δ(x, y, z) = p x2 + y2 + 3z2 + 3. NB. La massa totale di una curva γ ` e definita dal seguente integrale di linea M := Z γ δds, dove δ rappresenta la densit` a lineare di massa. Esercizio 2. Si consideri la curva γ di parametrizzazione φ(t) = (t − cos2 t, t − sin2 t, √ 2 sint cos t) t ∈ [0, π/2]. Calcolare l’integrale curvilineo I = Z γ f(x, y, z)ds, dove f(x, y, z) = z. Esercizio 3. Si consideri la curva γ di parametrizzazione φ(t) = (t cos t, tsin t, √ 3t) t ∈ [0, 1]. a) Mostrare che γ ` e rettificabile e calcolare la sua lunghezzal(γ). b) Determinare la coordinata zC del suo centroide C. NB. Le coordinate del centroide (o baricentro) C = (xC, yC, zC) di una curva γ sono definiti dai seguenti integrali di linea xC := 1 l(γ) Z γ xds y C := 1 l(γ) Z γ yds z C := 1 l(γ) Z γ zds. Esercizio 4. Si consideri la curva γ di parametrizzazione φ(t) = (cos(et), sin(et), et) t ∈ [log(π/2), log π]. a) Mostrare che γ ` e rettificabile e calcolare la sua lunghezzal(γ). b) Calcolare il valor medio della funzione f(x, y, z) = ln z su γ. NB. Il valo medio di una funzione f su una curva γ ` e definito dal seguente integrale di linea f γ := 1 l(γ) Z γ f ds. 1 Esercizio 5. Sia γ la curva grafico della funzione y = x3 , t ∈ [0, 1]. Dopo aver calcolato l’elemento d’arco ds, calcolare l’integrale di linea Z γ f(x, y)ds, dove f(x, y) = x. Esercizio 6. Si consideri la curva γ parametrizzata da φ(t) = t2 cos t, t2 sin t, t2
, t ∈ [−2π, 2π]. a) Stabilire se γ ` e una curva chiusa, semplice, regolare…