Derivate di ordine superiore

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Giovedi’ 29 Ottobre 2009 Derivate di ordine superiore. Se una funzione f : R n /u2192R è di classe C1 possiamo considerare in tutti i punti /ue0a2x/ue0a3le derivate parziali /u2202f /u2202xi /ue0a2x/ue0a3. Se queste sono anch’esse di classe C1 allora diciamo che la funzione f è di classe C2 e possiamo considerare le derivate parziali seconde definit e come derivate parziali delle derivate parziali prime e vengono denotate con una delle seg uenti notazioni: /u22022f /u2202xj/u2202xi /ue0a2x/ue0a3/u003dDj,if/ue0a2x/ue0a3/u003dfj,i/ue0a2x/ue0a3/u003d /u2202/ue0a2/u2202f /u2202xi /ue0a3 /u2202xj /ue0a2x/ue0a3 Se f è il monomio xnym allora la sua derivata parziale rispetto x vale nx n/u22121ym e quindi la successiva derivata parziale rispetto y vale nmx n/u22121ym/u22121 Allo stesso risultato saremmo arrivati se avessimo derivat o prima rispetto alla variabile y e poi rispetto la x. Questo è un fatto generale, infatti vale il seguente: Teorema (di Schwartz). Se f è di classe C2 allora le derivate parziali seconde non dipendono dall’ordine con cui vengono calcolate, cioè : /u22022f /u2202xj/u2202xi /ue0a2x/ue0a3/u003d/u22022f /u2202xi/u2202xi /ue0a2x/ue0a3 . Per una funzione di classe C2 possiamo considerare la matrice quadrata formata da tutte le derivate parziali seconde: /u22022f /u2202x1/u2202x1 /u22022f /u2202x1/u2202x2 . . /u22022f /u2202x1/u2202xn /u22022f /u2202x2/u2202x1 /u22022f /u2202x2/u2202x2 . . /u22022f /u2202x2/u2202xn . . . . . . . . /u22022f /u2202xn/u2202x1 /u22022f /u2202xn/u2202x2 . . /u22022f /u2202xn/u2202xn Questa matrice si chiama matrice Hessiana e risulta simmetr ica grazie al teorema di Schwartz. Essendo sempre una matrice quadrata possiamo con siderarne il determinante e questo viene chiamato Hessiano della funzio ne f. Per le funzioni di classe…