Domande 20 giugno 2019 senza soluzione

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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 20 giugno 2019 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Determinare e disegnare il campo di esistenza della funzionef (x,y ) = log(x3−x2y2) e stabilire se è chiuso, aperto, connesso. 2. Determinare e disegnare nel piano cartesiano l’insieme dei punti in cui é necessario studiare la differen- ziabilitá della funzionef (x,y ) = ( y2−x3)1 3 3. Determinare Massimo e Minimo della funzionef (x,y ) = 1−x2− 3y2 sul cerchio{(x,y ) : x2 +y2≤ 1}. 4. Calcolare il determinante Jacobiano della funzionef : R3→ R3 definita daf (x,y,z ) = (xz,xy,yz ). 5. Stabilire se la forma quadraticaq definita daq(x,y ) = 4x2− 12xy + 9y2 è definita positiva (o negativa), semidefinita o indefinita. 6. Sia B il cerchio unitario diR2. Calcolare ∫ B e−(x2+y2)dxdy. 7. Scrivere la serie di McLaurin associata alla funzionef (x) = (1 + 8 x3)−1 e determinarne l’intervallo di convergenza puntuale. 8. Scrivere un’equazione differenziale lineare omogenea del II ordine che abbia tra le proprie soluzioniφ1 e φ2 definite daφ1(t) = e3t e φ2(t) = 3e−2t + 2e3t. 9. Stabilire per quali valoriα,β ∈ R l’equazione differenziale (2 +αx2)y′− 3y + (β− 1)y2 = 0 è lineare a coefficienti non costanti. 10. Determinare l’equazione del piano normale alla curvar(t) = (t, cost, sint) all’istantet =π.