Domande facili 20 settembre 2016

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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 20 Settembre 2016 Prof. F. Gazzola Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Sia f (x,y,z ) = ex+y2 +z. Scrivere il differenziale primo dif calcolato in (0, 1, 2) rispetto all’incremento (dx,dy,dz ). 2. Calcolare lim (x,y)→(0,0) x(x3−y2) x2 + 5y2 . 3. Determinare il polinomio di McLaurin di secondo grado della funzionef (x,y ) = exy− 1−x20y2016. 4. Sia f (x,y ) =|x2−y2|. In quali punti diR2 è necessario studiare la differenziabilità dif? 5. Stabilire se la funzioneφ(t) = e2t cost è soluzione dell’equazioney′ = 2y−e2t sint. 6. Sia γ la curva di equazionix(t) = t, y(t) = 1, t∈ [0, 2]. Calcolare la lunghezza diγ. 7. Sia γ la curva dell’esercizio precedente e siaf (x,y ) = y2 +x. Calcolare ∫ γ fds. 8. Sia f la funzione periodica di periodo 2 che vale 1 x+1 per x∈ [0, 2). La serie di Fourier dif converge puntualmente su R? Se sì, a quale funzione? 9. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze∑+∞ 1 xn 5n2. 10. Determinare una soluzione (non identicamente nulla) del sistemay′ =Ay doveA = [0 1 1 0 ] Ing. Informatica + Telecomunicazioni Analisi Matematica 2 - Seconda Parte 20 Settembre 2016 Cognome: Nome: P T 1 2 3 4 T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sull’ultima facciata. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Domanda di teoria: Spiegare cosa si intende perconvergenza totale di una serie di funzioni. Esercizio 1. Si consideri la funzionef (x,y ) = 2(x2 +y2 + 1)− (x4 +y4). (i) Studiare la…