Elenco dimostrazioni del corso

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Dimostrazione 1: relazione fra differenziabilità e continuità Relazione fra differenziabilitá e derivabilitá in V direzione f derivabile in V direzione f differenziabile T eorema: formula del gradiente Sia A aperto R, f: A —> R, xo € A, f differenziabile in xo. Sia inoltre v un versore generico in R. Allora f è derivabile in xo nella direzione v e: Dimostrazione Poiché f è differenziabile in xo : Noi sappiamo che : Direzione di max/min crescita f differenziabile in xo D massima direzione di max crescita : minima direzione di min crescita: T eorema funzione differenziabile f differenziabile in xo f continua in xo Dimostrazione : Dimostrazione 2: relazione fra differenziabilità e derivabilità lungo una direzione arbitraria (formula del gradiente) Dimostrazione 3 direzioni di massima e minima crescita Dimostrazione 4: il teorema di Fermat Sia A R un aperto e f: A —> R. Sia f derivabile in xo € A. Se xo è un punto massimo/minimo, allora xo è critico. Dimostrazione Sia per esempio xo un punto di minimo. Allora :tale che Considero la base canonica di R è un punto di minimo locale per g Allora g é derivabile in t=0 e ha un minimo in t=0 =) - Iim≤→×, fai= Iim(tie)+ )+o /= filo)E.→IO (rinvio) - es ◦ flx,g)= ✗2ge' derivabileintldirezione =) - # DIf-10,0): } ✗2B fe' diff. ?No! ≤^ n DIf(Xo)= Pf1×-0).tl f(E)= fico)+of/E)◦ (E- E)+ ◦ (H- ✗◦1) oss idv.fi#l=Iimfl.xottv)-flEo) oital)- - ◦(Hilal):olltl/=◦It)1-→o t 'ma fle+tv)= f-(xe)+☐filo). tu+◦(Itri)pertso +→◦ ☐Fia). tu+◦(Itu)= 1in(☐filo).tl+◦ ltifvf(☒). Esostituendoottengo: linfa¥)+☐filo). tu+◦(Itri)- f= /im t t 1-→o tu ↓ ◦≤•≤ :*:| , ef(✗a)=D-5Ho). v.= /OfIno)/. III.cosa f- y ^ • DIfico) per9=0⾨sIllOf/Io),stessoverso I 9 > I s t t ☐filo) ltflxo)• Io, e °Drift✗°) per9=11-4--1VIl✓filo), versooppostoK - ☐filo) ≤ " 76>o 5-(±)≥f , VIE…