Equazioni differenziali ordinarie

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1 Equazioni lineari di ordine 2 a coefficienti costanti Caso omogeneo y′′(x) + a1y′(x) + a0y(x) = 0 , a 0, a1 ∈ R. (0.1) Integrale generale: Si costruisce il polinomio caratteristico di (0.1), ovvero il polinomio algebrico E(λ) = λ2 + a1λ + a0. Chiamiamo ∆ = ( a1)2 − 4a0 il suo discriminante. radici di E(λ) famiglia di soluzioni al variare di c1, c2 ∈ R ∆ > 0 λ1 ̸= λ2 y(x) = c1eλ1x + c2eλ2x ∆ = 0 λ1 = λ2 y(x) = ( c1 + c2x)eλ1x ∆ < 0 λ1,2 = α ± iβ y(x) = eαx[c1 cos(βx) + c2 sin(βx)] Caso non omogeneo y′′(x) + a1y′(x) + a0y(x) = g(x), a 0, a1 ∈ R, g ∈ C ([a, b]). (0.2) Integrale generale y(x) = c1w1(x) + c2w2(x) + y(x), al variare di c1, c2 ∈ R (0.3) dove w1 e w2 sono due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazio ne omogenea associata (ovvero di y′′(x) + a1y′(x) + a0y(x) = 0), mentre y ` e una soluzione parti- colare di (0.2). Come trovare una soluzione particolare y ? Per alcune famiglie di forzanti g si pu` o usare il Metodo delle funzioni simili. g(x) y(x) Qk(x) Pk(x) se 0 non ` e radice di E xPk(x) se 0 ` e radice di E di molt. 1 x2Pk(x) se 0 ` e radice di E di molt. 2 aeλx Aeλx se λ non ` e radice di E Axeλx se λ ` e radice di E di molt. 1 Ax2eλx se λ ` e radice di E di molt. 2 aeαx cos(βx) (o sin( βx)) eαx[A sin(βx) + B cos(βx)] se α ± iβ non sono radici di E teαx[A sin(βx) + B cos(βx) se α ± iβ sono radici di E.