Esercitazione 11

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 11 05/04/2022 Argomenti: l’algoritmo di Gram-Schmidt, diagonalizzazione ortogonale. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si consideri, inR3, l’insieme B =      1 1 1   ,   0 3 2   ,   −1 −1 0      . 1. Dimostrare cheB è una base diR3. 2. Applicando l’algoritmo di Gram-Schmidt alla baseB, determinare la base ortonormale risultanteB⊥. Esercizio 2 (tratto dalla prima prova in itinere del 5/5/2017). SiaB ={b1, b2, b3} una base di R3 e sia T : R3→ R3 definita da T (b1) = kb1 + kb2− b3, T (b2) = b2, T (b3) =−b1, al variare del parametro realek. 1. Determinare i valori dik per cui A è diagonalizzabile. 2. Determinare i valori dik per cui A è ortogonalmente diagonalizzabile. In tali casi, esibire una matrice di passaggio ortogonale che diagonalizziA e la matrice rappresentativa diT rispetto ad una base ortonormale di R3 formata da autovettori diA. Esercizio 3 (parte dalla prima prova in itinere del 15/4/2019, continua da Esercizio 9.2). Si consideri la matrice A =   1 2 5 2 4 −k 5 10 25   . 1. Determinare, per i valori dik∈ R per cui è possibile, una base ortonormale diR3 formata da autovettori di A. 2. Determinare, per i valori dik per cui è possibile, una matrice ortogonaleQ che diagonalizzi A. Esercizio 4 (⋆). Si consideri lo spazio euclideoR2 dotato con il prodotto scalare standard·. 1. Descrivere e disegnare l’insiemeS ={x∈ R2 : x· x = 1}. Sia ora A = [a 0 0 b ] , con a e b reali strettamente positivi. 2. Dimostrare che⟨x, y⟩ = xT Ay è un prodotto scalare suR2. 3. Descrivere e disegnare l’insiemeSa,b ={x∈ R2 :⟨x, x⟩ = 1}. Per quali valori dia e b si ha Sa,b = S? 4. Ripetere i punti precedenti indicando, almeno qualitativamente, cosa accade…