Esercitazione 12

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 12 20/04/2022 Argomenti: dominio di una funzione, elementi di topologia in Rn. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si determini il dominio e si tracci un grafico qualitativo delle seguenti funzioni: z = f(x, y) = √ R2− x2− y2; z = f(x, y) = √ x2 + y2, ove R > 0. Soluzione. La prima funzione è definita se e solo seR2− x2− y2≥ 0, ovvero x2 + y2≤ R, cioè il cerchio di raggio R (inclusa la circonferenza). La seconda è invece definita per ogni coppia(x, y)∈ R2, poiché x2 + y2≥ 0 per ogni valore reale dix e y. In altre parole, per la prima funzione si ha dom f ={(x, y)∈ R2 : x2 + y2≤ R}, mentre per la seconda dom f = R2. Analizzando le curve di livelloLc delle due funzioni, ovvero i luoghi dei punti inR2 ove f(x, y) = c per un qualche valore realec fissato, si ottengono le sezioni dei grafici con piani paralleli al pianoxy (perpendicolari dunque all’asse z). Nel primo caso otteniamo c = √ R2− x2− y2, da cui    c < 0⇒ Lc = ∅ 0≤ c < R⇒ Lc ={(x, y)∈ R2 : x2 + y2 = R2− c2} c = R⇒ Lc ={(x, y)∈ R2 : x2 + y2 = 0} ={(0, 0)} c > R⇒ Lc = ∅. Ciò suggerisce che il grafico di f è una semisfera nel semispazio positivo z ≥ 0. Viceversa, per la seconda funzione si ha c = √ x2 + y2, da cui    c < 0⇒ Lc = ∅ c = 0⇒ Lc ={(x, y)∈ R2 : x2 + y2 = 0} ={(0, 0)} c > 0⇒ Lc ={(x, y)∈ R2 : x2 + y2 = R2} da cui deduciamo che il grafico della seconda funzione è una falda di un cono nel semispazio positivoz≥ 0. L’analisi delle curve di livello non è in generale sufficiente per tracciare precisamente il grafico di una funzione. ♦ 1 Esercizio 2. Si determini il dominio della funzione f(x, y) = (x3 + xy + y3) log ( 3 √ 1− x2− 2y2 ) (x2− y)x+y e lo si rappresenti graficamente. Soluzione. La…