Esercitazione 14

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 17 05/05/2021 Argomenti: continuità, derivabilità, piano tangente. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si consideri la funzionef : R2→ R definita da f (x,y ) =    3 sin(e−x2 − 1) sin(e−y2 − 1) log(1 +x2 +y2) se (x,y )̸= (0, 0) β se (x,y ) = (0, 0). 1. Determinare i valori diβ per cui la funzionef è continua su tuttoR2. 2. Per i valori diβ determinati al punto precedente, si consideri la funzioneg : R2→ R definita da g(x,y ) := f (f (x,y ),f (y,x )) e provare cheg è continua su tuttoR2. Calcolare inoltre lim (x,y)→(0,0) g(x,y ). Soluzione. La funzione f è continua in ogni punto (x,y )∈ R2 diverso dall’origine: si tratta di prodotto e composizione di funzioni ben definite e ovunque continue. In particolare, si noti che il denominatore si annulla solo nell’origine. Inoltre, usando i limiti notevoli di una variabile, possiamo dire che lim (x,y)→(0,0) 3 sin(e−x2 − 1) sin(e−y2 − 1) log(1 +x2 +y2) = lim (x,y)→(0,0) 3x2y2 x2 +y2 = lim ρ→0+ 3ρ2 cos2θ sin2θ, il quale vale 0 poiché|3ρ2 cos2θ sin2θ|≤ 3ρ2, che è infinitesima quandoρ→ 0+. Concludiamo che affinchéf sia continua in(0, 0), ovvero affinché lim (x,y)→(0,0) f (x,y ) = f (0, 0) = β, deve essere necessariamenteβ = 0. Sia dunque β = 0. Proviamo la continuità della funzione g tramite la definizione (cosiddetta definizione metrica) di limite. Siah : R→ R2 definita da h(x) = (x,x ). Si ha chiaramente cheg(x,y ) = f (h(f (x,y ))) per ogni (x,y ), per simmetria dif rispetto ai suoi argomenti. Poiché la composizione di funzioni continue è continua, è sufficiente provare la continuità dih su R, ovvero che, per ognix0∈ R fissato ∀ϵ> 0∃δ >0 :|x−x0|≤ δ⇒∥h(x)−h(x0)∥≤ ϵ. Sia dunqueϵ> 0 arbitrario. Si noti che ∥h(x)−h(x0)∥…