Esercitazione 2

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 2 01/03/2022 Argomenti: algebra matriciale, rango di una matrice, sistemi lineari tramite MEG. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. L’introduzione al MEG può essere trovata nella Lezione 4 del corso (pp. 27-34). Esercizio 1. Si considerino le matrici A =   4 1 7 −1 3 10   , B =   0 1 10 1 −1 −5   . Calcolare, ove possibile, 3A, A + 2B, 3A− 4B. Soluzione. Si ha, da un calcolo diretto, 3A =   12 3 21 −3 9 30   , A + 2B =   4 3 27 1 1 0   , 3A− 4B =   12 −1 −19 −7 13 50   . ♦ 1 Esercizio 2. Si considerino le matrici M = [2 1 3 1 2 1 ] , N =   1 −1 0 1 4 −10   . Calcolare, ove possibile, M + N , M N, N M. Soluzione. La somma M + N non esiste poiché le matrici non sono compatibili (non hanno le stesse dimensioni). Si ha, da un calcolo diretto, M N∈M R(2, 2), M N = [14 −31 5 −9 ] . Ricordiamo che l’elemento (i, j) di M N è ottenuto svolgendo il prodotto riga per colonna delle riga i-esima di M con la colonna j-esima di N . Viceversa, N M∈M R(3, 3), N M =   1 −1 2 1 2 1 −2 −16 2   . ♦ 2 Esercizio 3. Sia B = [1 1 6 0 ] . Determinare tutte le matrici A∈M R(2, 2) che commutano con B, ovvero tali che AB = BA. Soluzione. Sia A = [a b c d ] un generico elemento di MR(2, 2). Allora AB = [a b c d ][ 1 1 6 0 ] = [a + 6b a c + 6d c ] , mentre BA = [1 1 6 0 ][ a b c d ] = [a + c b + d 6a 6b ] . Uguagliando componente per componente si ottiene il sistema lineare    a + 6b = a + c, a = b + d, c + 6d = 6a, c = 6b. Inserendo la quarta equazione nella terza ritroviamo a = b + d, mentre dalla prima ritroviamo c = 6 b. In conclusione, assegnati b, d∈ R le uniche matrici che commutano con B sono della forma A = [ a b c d ] = [b + d b 6b d ] = b [1 1 6 0 ] + d [1…