Esercitazione 20

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 20 01/06/2022 Argomenti: campi vettoriali, operatori differenziali, teorema di Gauss-Green. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si consideri il campo vettorialeF : R3→ R3 definito da F(x,y,z ) = (yz +x)i + (xz +y)j + (xy +z)k. 1. Si calcolino il rotore e la divergenza diF. 2. Si provi che esiste un potenziale del campo vettoriale. Inoltre, calcolare l’unico potenzialeU tale che U(0, 0, 0) = 7. 3. Si calcoli il lavoro compiuto dal campo vettoriale lungo la circonferenza di raggio 1 che giace sul piano z = 6, percorsa nei seguenti modi partendo dal punto(1, 0, 6): (a) 1 giro in senso antiorario; (b) 4 giri in senso antiorario; (c) 3 giri e 7 8 in senso antiorario; (d) 1 8 di giro in senso orario. Soluzione. 1. Le componenti sono tutte differenziabili. Il rotore può essere calcolato tramite il determinante simbolico rot F = ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z yz +x xz +y xy +z ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ = (∂ ∂y (xy +z)− ∂ ∂z (xz +y) ) i− ( ∂ ∂x (xy +z)− ∂ ∂z (yz +x) ) j + ( ∂ ∂x (xz +y)− ∂ ∂y (yz +x) ) k = (x−x)i− (y−y)j + (z−z)k = 0. Il campo è irrotazionale. Per quanto riguarda la divergenza, si ottiene tramite la definizione div F = ∂ ∂x (yz +x) + ∂ ∂y (xz +y) + ∂ ∂z (xy +z) = 3. Si osservi che sia il rotore che la divergenza sono da intendersi come funzioni vettoriali e scalari (in questo caso costanti) dello spazio. In generale, potrebbero dipendere dax,y e z. 2. Poiché R3 è semplicemente connesso e il campo è irrotazionale, deduciamo che il campo è conservativo e dunque ammette potenziale, ovvero una funzione scalareU : R3→ R tale che F =∇U. Le derivate parziali del potenziale devono essere pari alle componenti del campo. Integrando la prima componente rispetto ax otteniamo U(x,y,z ) = ˆ…