Esercitazione 3 UMVUE

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(⌫),⌫>0, e siaX1,...,Xn un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. (a) Si calcoli il limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto di E⌫[X]=1/⌫basato sul campione. (b) Si mostri cheXn` e un UMVUE perE⌫[X]=1/⌫. (c) A partire dalla statistica min{X1,...,Xn}si costruisca un altro stimatore corretto perE⌫[X]=1/⌫ e se ne calcoli l’errore quadratico medio. (d) Si confrontino i due stimatori. Esercizio 2.SiaX1,...,Xnun campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0,✓],✓>0. (a) Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza di ✓e se ne calcoli la distorsione. (b) Si deduca da (a) uno stimatore corretto per ✓e se ne calcoli l’errore quadratico medio. (c) La statistica trovata in (b) ` e un UMVUE per✓? (d) Soddisfa la disuguaglianza di Cram´ er-Rao? Esercizio 3.SiaX1,...,Xnun campione casuale da una legge normaleN(µ, 2) di parametri sconosciuti. Si mostri che gli UMVUE per i seguenti parametri sono proprio gli stimatori indicati in tabella: Parametro UMVUE µ Xn=1 n nX i=1 Xi 2 S2 n= 1 n 1 nX i=1 (Xi Xn)2 r n 1 2 [(n 1)/2] [n/2] Sn Quantile di ordine↵ z↵ r n 1 2 [(n 1)/2] [n/2] Sn+Xn Esercizio 4.Dato un campione casualeX1,...,Xn(n 1) estratto da una popolazioneB(p),p2[0,1], si trovino gli UMVUE perpep2. Esercizio 5.Dato un campione casualeX1,. . . ,Xnda una distribuzioneN(µ,1), si vuole stimare⌧(µ)= µ2. (a) TrovareTnstimatore di massima verosimiglianza perµ2. (b) Trovare ˆ⌧n, stimatore corretto a varianza uniformemente minima per µ2. (c) Calcolare la varianza di ˆ⌧n. (Pu` o essere utile ricordare che il momento quarto di una variabile aleatoriaY⇠N(m, s2) valeE[Y4]=m4+6m2s2+3s4.)…