Esercitazione 4

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 4 08/03/2022 Argomenti: determinante e sue proprietà, calcolo della matrice inversa. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Calcolare il determinante delle matrici A = [1 2 2 −1 ] , B =   1 −1 3 1 1 2 2 0 7  , C =   a 0 0 b c 0 d e f  . Soluzione. Applichiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga perA e C ed alla seconda colonna per B, ottenendo: detA = −1 − 4 = −5, detC =a(cf −e · 0) = acf, ed infine, per esteso detB = (−1)1+2(−1)(7 − 4) + (−1)2+2(1)(7 − 6) = 3 + 1 = 4 . 1 Esercizio 2 (importante!). Sia A ∈ M R(n,n ). 1. Supponiamo cheA abbia due righe (o colonne) uguali. Provare cheA ha determinante nullo. 2. Sia ˜A la matrice ottenuta sommando allai-esima riga diA un multiplo qualunque dellaj-esima riga diA (qui i,j ∈ {1,...,n } e j ̸=i). Provare chedetA = det ˜A. 3. Sia AT (si legga A trasposta) la matrice ottenuta scambiando righe e colonne diA. Dimostrare che detA = detAT. 4. Provare che seB =λA, conλ ∈ R, allora detB =λn detA. 5. SiaR la ridotta a scala diA ottenuta utilizzando il MEG. Stabilire sotto quali condizioni vale la relazione detR = detA. Soluzione. Per mostrare gli asserti, facciamo uso di alcune proprietà base del determinante, ovvero multilinearità rispetto a righe e colonne e alternanza (rispetto a scambi di righe e colonne). 1. Supponiamo che la rigai e la rigaj di A, coni ̸=j siano uguali. SeB è la matrice ottenuta scambiando la riga i e la riga j di A, allora si ottiene cheB = A, e dunque detB = det A. D’altronde, poiché B è ottenuta scambiando due righe diA, allora deve anche esseredetB = − detA. Le due condizioni impongono detA = − detA, ovvero detA = 0. 2. Operando suA la sostituzione ri ← ri +αrj per unα ∈ R e j ̸= i,…