Esercitazione 5 Test 2

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Data la famiglia di leggi f(x;✓)=2 ✓2 ✓ x I(0,✓)(x), si vuole sottoporre a verificaH0:✓=✓0controH1:✓=✓1, con 0<✓1<✓0. Trovare un test pi` u potente di livello↵basato su un campione di ampiezza 1 e calcolarne la potenza contro ✓1. Esercizio 2.Si trovi un test pi` u potente di livello↵basato su un campione di ampiezza 1 per verificare H0:X⇠N(0,1) controH1:X⇠C(1,0), ovveroXvariabile di Cauchy di mediana 0. Esercizio 3.SiaX1,...,Xnun campione casuale da una popolazioneN(µ, 2 0), conµ2Rincognito e 2 0>0 noto. (a) Trovare un test pi` u potente di livello↵perH0:µ=µ0controH1:µ=µ1, conµ1>µ0. (b) Dedurre da (a) un test uniformemente pi` u potente di livello↵perH0:µ=µ0controH1:µ>µ0. Esercizio 4.Per una variabileXsi consideri il modello statistico definito da f(x; )= x 1, 0<x<1. (a) Trovare un test di Neyman-Pearson di dimensione ↵(basato su un campione di ampiezza 1) per H0: = 1 controH1: = 1, con 1>1. (b) Il test trovato in (a) ` e distorto? (c) Per le ipotesi statistiche del punto (a), fissato 1>1, si calcoli la potenza massima che pu` o avere un arbitrario test di livello↵. (d) Dedurre da (a) un test uniformemente pi` u potente di livello↵perH0: = 1 controH1: >1. Esercizio 5.Si trovi un test pi` u potente di livello↵basato su un campione di ampiezza 1 per verificare H0:X⇠f0controH1:X⇠f1,d o v e f0(x)=e x2/2 p 2⇡,f 1(x)=e |x| 2. Esercizio 6.Mostrare che un test basato sul rapporto di verosimiglianza per due ipotesi semplici ` e sempre un test di Neyman-Pearson. Esercizio 7.Si mostri che il modello statistico definito da f(x;✓)= 1 ⇡[1 + (x ✓)2],✓ 2R, non ha rapporto di verosimiglianza monotono inX. Esercizio 8.Fissati due numeri naturali n<N, si mostri che il modello statistico ipergeometrico G(N, M, n), 0MN, ha…