Esercitazione 7 Teoria Asintotica

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Il tempo di risposta di un calcolatore all’input di un terminale si descrive mediante una variabile aleatoria di legge esponenzialeE(✓), con✓incognito. Si intendono misurarentempi di risposta T1,...,Tnper stimare il tempo atteso di risposta 1/✓e per stimare il parametro✓. SiaTn=1 n Pn i=1Tilo stimatore di 1/✓. (a) Mostrare che ` e uno stimatore non distorto. (b) Determinarne la legge. (c) Studiarne asintotica normalit` a, consistenza ed e cienza asintotica. Si consideri ora la stima di✓. (d) Ricavare da 1/Tnuno stimatore non distortoˆ✓ndi✓. (e) Studiarne asintotica normalit` a, consistenza ed e cienza asintotica. (f) Costruire una regione critica di livello (approssimativamente) ↵per sottoporre a testH0:✓=✓0 controH1:✓6=✓0. (g) Si deduca daˆ✓nuna quantit` a asintoticamente pivotale con cui costruire un intervallo di confidenza per✓di livello (approssimativamente) . (h) Si trovi una trasformazioneg:[ 0,+1)!R che stabilizzi la varianza asintotica dig(ˆ✓n), ovvero tale che la varianza asintotica dig(ˆ✓n)s i ai n d i p e n d e n t ed a✓. (i) Si proponga un intervallo di confidenza per✓di livello (approssimativamente) costruito sulla base dig(ˆ✓n). Si confronti tale intervallo di confidenza con quello ottenuto al punto (g). Esercizio 2.SiaXuna variabile aleatoria discreta che pu` o assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilit` a p( 2) =1 2 ✓, p (0) = 2✓, p (2) =1 2 ✓. (a) Per quali✓la funzioneprisulta una densit` a? [0✓1/2] (b) SiaX1,...,Xnun campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densit` a pes i aˆ✓nlo stimatore di massima verosimiglianza per✓.`E consistente? [s ` ı ] Esercizio 3.SiaX1,...,Xnun campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0,✓],✓>0. (a)…