Esercitazione 8

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 8 23/03/2022 Argomenti: applicazioni lineari. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1 (tratto dal tema d’esame del 2/5/2016). Sia F : R3 → R3 l’applicazione lineare che sui vettori della base canonicae1, e2, e3 è definita da F (e1) = e1 − e2 − 5e3, F (e2) = −5e3, F (e3) = e3, 1. Scrivere la matriceA che rappresentaF rispetto alla base canonica (fissata nel dominio e nel codominio). 2. Studiare l’iniettività, la suriettività e l’invertibilità diF. 3. Determinare una base diKerF e di ImF. 4. Calcolare la dimensione diKerF ∩ ImF. Soluzione. 1. Accostando per colonne i vettori delle coordinate (rispetto alla base canonica) delle immagini dei vettori della base canonica si ottiene A =   1 0 0 −1 0 0 −5 −5 1  . 2-3. Per l’iniettività, calcoliamoKerA risolvendoAx = 0. Utilizzando il MEG, troviamo immediatamente che KerA =      0 1 5 1  t1, t1 ∈ R   , B(KerA) =      0 1 5 1     . Poiché dim KerA = 1 > 0, l’applicazione non è iniettiva (e dunque neanche invertibile). Dal MEG, deduciamo anche cher(A) = dim Im F = 2 < 3, ed una base è assegnata dalle prime due colonne diA (che contengono i pivot della ridotta a scala), ovvero B(ImF ) =      1 −1 −5  ,   0 0 −5     . 4. La dimensione dell’intersezione è 0. Infatti, se v ∈ KerF ∩ ImF = Ker A ∩ colA (ricordarsi che l’uguaglianza KerF = KerA (e uguale tra spazio immagine e spazio colonna) vale solo quandoF opera tra spazi di tipoRn e si ha rappresentazione rispetto alla base canonica, altrimenti necessitiamo di una mappa di coordinate), allora v =α1   1 −1 −5   +α2   0 0 −5   =α3   0 1 5 1   per qualche α1,α 2,α 3 ∈ R. Risolvendo il sistema associato, si trova immediatamente che…