Exercises grup 1

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Statistica e probabilit` a matematica Esercitazione 1 Esercizio 1: Il seguente dataset fornisce il numero di guasti rilevati nell’ultima settimana di produzione su un gruppo di N =1 5m a c c h i n a r i : x1 =0 x2 =0 1 5 1 3 2 2 3 1 1 2 0 0 xN =1 a) Costruire la tabella della distribuzione di frequenza assoluta ( fA), relativa ( f )e relativa cumulata ( F ). b) Calcolare media e deviazione standard. c) Calcolare i quartili, di ↵erenza interquartile e produrre il box-plot della distribuzione. d) Calcolare lo 0.9-quantile. e) Se su una sedicesima macchina si osservassero 10 guasti, come varierebbero media em e d i a n a ? Soluzione. a) Raccogliendo i dati in n =5c l a s s id i s t i n t eck, e ricordando che la frequenza relativa cumulata Fk associata alla classe ck si ottiene sommando le frequenze relative fi per i =1 , 2,...,k , si ha Classi fA f = fA/N F c1 =0 4 0.27 0.27 c2 =1 5 0.33 0.60 c3 =2 3 0.20 0.80 c4 =3 2 0.13 0.93 c5 =5 1 0.07 1 b) Abbiamo ¯xN = P N i=1 xi N = P n i=1 cifA,i N = nX i=1 cifi = s P N i=1(xi ¯xN )2 N = r P n i=1(ci ¯xN )2fA,i N = vuut nX i=1 (ci ¯xN )2fi Dunque, nel nostro caso, ¯x15 = 1 15 (0 · 4+1 · 5+2 · 3+3 · 2+5 · 1) = 1 .47 = r 1 15 [4(0 1.47)2 +5 ( 1 1.47)2 +3 ( 2 1.47)2 +2 ( 3 1.47)2 +( 5 1.47)2]=1 .36 c) Dalle frequenze relative cumulate deduciamo: q0.25 =0( p r i m oq u a r t i l e ) ,q0.5 =1 (secondo quartile, o mediana), q0.75 =2( t e r z oq u a r t i l e ) ,I Q R=q0.75 q0.25 =2 . D a 1 cui il boxplot: il rettangolo ` e delimitato dal primo e dal terzo quartile e diviso in due dalla mediana; osservate che gli estremi Li e Ls dei “ba ” del boxplot si trovano in questo modo (secondo la definizione applicata in R): Li `e l a p i `u p i c c o l a o s s e r v a z i o n e i n [q0.25 3 2 IQR; q0.25], mentre Ls `e l a p i `u g r a n d e o s…