Exercises grup 2

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Probabilit` a e statistica matematica Esercitazione 5 Esercizio 1: Un’urna contiene 3 biglie rosse, due biglie bianche ed una verde. Si estrag- gono due biglie senza reinserimento. Siano R il numero di biglie rosse estratte e B il numero di biglie bianche estratte. a) Qual ` e la densit` a congiunta del vettore (R,B )? Qual ` e la densit` a marginale diB? Quale quella di R? b) Calcolare media e varianza di B. c) Calcolare la covarianza diR eB e il coefficiente di correlazione lineare. B eR sono variabili aleatorie non correlate? Sono indipendenti? d) Calcolare Var (R−B). Soluzione. a) Per ogni i,j = 0, 1, 2 dobbiamo calcolare p(i,j ) =P (R =i,B =j) =P (i rosse e j bianche tra le 2 estratte) Si vede subito, per esempio, che p(0, 0) = p(1, 2) = p(2, 1) = 0; per i restanti casi, basta contare le estrazioni “favorevoli”, sulle (6 2 ) = 15 possibili. Si ottiene B 0 1 2 R 0 0 2/15 1/15 1/5 1 1/5 2/5 0 3/5 2 1/5 0 0 1/5 2/5 8/15 1/15 L’ultima colonna e l’ultima riga della tabella riportano le densit` a marginali di R e B rispettivamente. b) Si trova facilmente E[R] = 1 Var (R) = 2 5 E[B] = 2 3 Var (B) = 16 45 c) Si ha Cov(R,B ) =E[RB]−E[R]E[B]. Calcoliamo E[RB]: E[RB] = ∑ k kP (RB =k) = 0· (... ) + 1·p(1, 1) + 2· (p(1, 2) +p(2, 1)) + 4·p(2, 2) = 1 ·p(1, 1) = 2 5 Da cui si trova Cov(R,B ) = 2 5− 2 3 = − 4 15 e, per quanto riguarda il coefficiente di correlazione, ρR,B = Cov(R,B )√ Var (R)Var (B) =− √ 2 2 1 Le variabili sono non correlate e, di conseguenza, indipendenti. L’indipendenza del resto poteva essere gi` a dedotta dal fatto che la densit` a congiunta non si fattorizza nel prodotto delle densit` a marginali. d) Si ha Var (R−B) = Var (R) +Var (−B) + 2Cov(R,−B) = Var (R) +Var (B)− 2Cov(R,B ) =... = 58 45 Esercizio 2: Esercizio 1 tema d’esame 20140508. Esercizio 3: Esercizio 2…