Exercises grup 3

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Probabilit` a e Statistica matematica Esercitazione 8 Esercizio 1: Siano X1,...,X n variabili aleatorie di Poisson indipendenti, ciascuna con valore atteso λ. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per λ. Soluzione. Ricordiamo che la densit` a di ciascunaXi ` e data da pλ(k) = λk k!e−λ per ogni k intero non negativo Data un’osservazione campionaria (x1,...,x n) con xi interi non negativi, se indichiamo con L(λ) la funzione di massima verosimiglianza del campione, L(λ) = n∏ i=1 λxi xi!e−λ = e−nλ·λ ∑n i=1xi x1!...x n! ⇒lnL(λ) = −nλ +lnλ· n∑ i=1 xi−lnc con c = x1!...x n!. Dopo aver derivato la log-verosimiglianza, ne cerchiamo il punto di massimo: Dλ[lnL(λ)] =−n + ∑n i=1xi λ > 0 ⇐⇒ λ< ∑n i=1xi n Dunque ˆΛ = ¯X ` e lo stimatore MLE diλ. Osservate che ` e anche lo stimatore dei momenti di λ. Esercizio 2: Sia (X1,X 2,...,X n) un campione aleatorio estratto da una popolazione uniforme su [0,θ ], con θ >0 incognito. a) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆΘ1 e lo stimatore dei momenti ˆΘ2 per θ. b) Verificare che ˆΘ2 ` e non distorto perθ, mentre ˆΘ1 lo ` e. c) Determinare la costante c tale che ˆΘ′ 1 :=c ˆΘ1 sia uno stimatore non distorto di θ. d) Calcolare gli errori quadratici medi di ˆΘ′ 1 e ˆΘ2. e) Un utente del trasporto pubblico si presenta a una certa fermata dell’autobus in un momento casuale con distribuzione uniforme tra le 7 e le ore 7 e θ minuti, con θ incognito; le rilevazioni dei minuti trascorsi dalle 7 all’arrivo del passeggero alla fermata in 12 giornate indipendenti sono state: 1.32 7.58 8.22 4.96 1.25 7.38 8.62 9.88 9.45 5.16 6.28 2.74 1 Fornire una stima di θ. Soluzione. a) Per lo stimatore di massima verosimiglianza diθ, calcoliamo la funzione di verosimiglian- za L: L(x1,...,x n,θ ) = n∏ i=1 1 θI[0,θ](xi) =    1 θn se 0≤xi≤θ…