Exercises grup 4

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Statistica e Probabilit` a matematica Esercitazione 10 Esercizio 1: Un viticoltore afferma che la concentrazione di solfiti nel vino da lui prodotto non supera il limite di legge di 150 ml/l. Abbiamo misurato la concentrazione di solfiti in 6 bottiglie del suo vino, ottenendo un campione ( x1,...,x 6) per cui vale: 6∑ i=1 xi = 941.9, 6∑ i=1 x2 i = 148053.9 Possiamo supporre che il campione delle 6 misure X1,X 2,...,X 6 provenga da una popo- lazione gaussiana Xi∼ N(µ,σ 2). a) Fornite un intervallo di confidenza bilatero al livello del 90% per il parametro incognito µ. b) Sulla base della misura precedente, c’` e evidenza, al 5% di significativit` a, che il viticoltore ` e fuori norma? Testate cio` e l’affermazioneH0 :µ≤ 150 contro H1 :µ> 150. c) Testare all’1% di significativit` a l’ipotesiH0 :σ2 = 10 contro H1 :σ2̸= 10. Soluzione. a) Dai dati si ottiene: ¯x = 156.9833,s = 6.18495; per α = 0.1, si ha tα,5 = 2.015. Da cui segue che l’intervallo cercato ` e (151.90, 162.07). b) Si testa H0 :µ≤ 150 controH1 :µ> 150 (osservate che l’affermazione per la quale cerchiamo evidenza statistica va posta come ipotesi alternativa!). L’ipotesi nulla sar` a rifiutata set0 >t α,5, dove α = 0.05 e t0 ` e il valore osservato della statistica test, ovvero t0 = ¯x−µ0 s/√n Con µ0 = 150 si ottiene t0 = 2.7657, mentre tα,5 = 2.015. Dunque possiamo rifiutare l’ipotesi nulla: al 5% di significativit` a, possiamo affermare che il produttore ` e fuori norma (osservate che all’1% non avrei potuto affermarlo!). c) Se σ2 0 = 10, la statistica del test osservata ` e χ2 0 = 5s2 σ2 0 = 19.1268, che va confrontata con i quantili χ2 1−α 2,5 = 0.4417 e con χ2α 2,5 = 16.7496 (qui α = 0.01). Poich´ eχ2 0 >χ 2α 2,5, possiamo rifiutare l’ipotesi nulla all’1% di significativit` a. Esercizio 2: La ditta A e la ditta B…