Forme differenziali e campi vettoriali

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Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Esercizi sul Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Esercizi sul Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Esercizi su campi conservativi e potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 Esercizi su forme esatte e primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 2 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt` a maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali utilizzando il Teorema di Green: a) ∫ γ y2 dx + x dy, dove γ parametrizza C = { (x, y) ∈R2 : x2 + y2 = 1 } inducendo su di esso un verso di percorrenza antiorario. [ π] b) ∫ γ F · dP, dove F (x, y) = ( x2y3, y ) , e γ ` e una parametrizzazione del bordo di A = { (x, y) ∈R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 } orientato positivamente. [ − 63 8 π ] Svolgimento a) La forma differenziale ω = y2 dx + x dy ` e di classe C∞ suR2 ma non ` e esatta, perch` e se lo fosse sarebbe anche chiusa. Infatti, posto ω = f1 dx + f2 dy con f1(x, y) = y2, f 2(x, y) = x, si ha che ∂f1 ∂y (x, y) = 2 y ̸= 1 = ∂f2 ∂x (x, y). Ne segue che ω non ` e esatta. Calcoliamo l’integrale ∫ γ ω. Osserviamo che C ` e la circonferenza di centro l’origine O e raggio 1. Quindi C = ∂A, dove A = { (x, y) ∈R2 : x2 + y2 < 1 } . Per il Teorema di Green si ha che ∫ γ ω = ∫ A (∂f2 ∂x (x, y) − ∂f1 ∂y (x, y) ) dx dy = ∫ A (1 − 2y)dx dy = e passando in coordinate polari nel piano = ∫ 2π 0 [∫ 1 0 (1 − 2ρ sin ϑ)ρ dρ ] dϑ = ∫ 2π 0 [ 1 2 ρ2 − 2 3 ρ3 sin ϑ ]1 0 dϑ = = ∫ 2π 0 (1 2 − 2 3 sin ϑ ) dϑ = π. b) Il campo vettoriale F (x, y) = ( x2y3, y ) ` e di…