Funzioni Continue

Pagina 1

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Appunti di lezione (G) 1 F unzioni continue Sia I un intervallo qualunque. Una funzione f : x7! y = f (x) : I! R è detta continua nel punto x02I se1 lim x!x0 f (x) = f (x0) cioè 8"> 0 9 >0 8x jx x0j< )jf (x) f (x0)j<" e continua in I se è continua in ogni punto di I 8x02I lim x!x0 f (x) = f (x0) Esistono funzioni che sono ovunque discontinue, cioè che non sono contin- ue in nessun punto di I (come la funzione di Dirichlet), e funzioni che sono continue solo in in numero nito di punti di I. Ad es., la funzione f (x) =  x se x2 Q x se x2 Rn Q (1) è discontinua in tutto R tranne che in x = 0 . Ci sono poi le cosiddette 2 funzioni punteggiate discontinue, cioè quelle funzioni che, pur avendo un numero in nito di discontinuità inI, presentano punti di continuità in ogni 0Aggiornamento: 28 novembre 2014 1Naturalmente negli eventuali punti di frontiera di I si può parlare solo di continuità da destra o da sinistra. 2secondo una nomenclatura introdotta da Hankel e poi ripresa da Volterra. M. V erri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 2 sottointervallo diI. Quindi, sia la funzione di Dirichlet sia la (1) non sono punteggiate discontinue, mentre lo è la funzione f (x) = 8 >< >: 0 se x = 1 n (n = 1; 2;::: ) ( 1)n se 1 n + 1 <x< 1 n (n = 1; 2;::: ) (2) che è discontinua nei punti x = 1=n e continua negli intervalli della forma 1 n + 1; 1 n  . 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 ­1.0 ­0.8 ­0.6 ­0.4 ­0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x y Il gra co della funzione (2). Un’ altra funzione punteggiata discontinua è f (x) = 8 >< >: 0 se 0<x< 1, x irrazionale 1 se x = 0, x = 1 1 n se 0<x< 1, x = m n (m;n interi primi fra loro) (3) che è…