Funzioni di due variabili

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Esercizi sulle funzioni di due variabili (1) Rappresentare nel piano cartesiano il dominio delle seguenti funzioni: (a) f (x, y) = arcsin( xy − y − 2x); (b) f (x, y) = √ (x2−2x−y)(x2−2x+y) (x−3/2)2+(y−1/2)2 + ln x+1 2−x ; (c) f (x, y) = √ |x|(x2 − (y + 1)2); (d) f (x, y) = √ ycos(x2 + y2). (2) Rappresentare sul piano cartesiano le curve di livello delle seguenti funzioni: (a) 1+xy x2 , (b) y x ex, (c) x(y − ln x). (3) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim (x,y)→ (0,0) y2 ln x (x−1)2+y2 (b) lim (x,y)→ (0,0) 1−exy2 √ x4+y4 (c) lim (x,y)→ (0,0) 1−cos xy ln(1+x2+y2) (d) lim (x,y)→ (0,0) xe−y x (x ̸= 0) (e) lim (x,y)→ (0,0) x3+y3 x2+y4 (f ) lim (x,y)→ (0,0) x3y2 x4+y4 . (4) Studiare la continuit` a, la derivanilit` a e la differenziabilit` a delle seguenti funzioni: (a) f (x, y) = { y2 x x ̸= 0 0 x = 0 (b) f (x, y) = { x2y3 x4+y4 x ̸= 0 0 x = 0 (c) f (x, y) = { 3 √ ye−y2 x4 x ̸= 0 0 x = 0 (d) f (x, y) = |y|sin(x2 + y2) (e) f (x, y) = 3 √ x2(y − 1) + 1 ( f ) f (x, y) = 1−cos xy ln(1+x2+y2) . (5) Calcolare le derivate prime e seconde, gradente ed Hes- siano delle seguenti funzioni e calcolarli in (x0, y0): (a) f (x, y) = xy (x0, y0) = (1 ,2) (b) f (x, y) = { x3y x2+y2 x ̸= 0 0 x = 0 (x0, y0) = (0 ,0) (c)f (x, y) = x√1+y − y√ 1 + x (x0, y0) = (1 ,1). (6) Scrivere lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine (in- cluso) e di centro (0,0) delle seguenti funzioni: (a) f (x, y) = sin x sin y (b) f (x, y) = ex+y (c) f (x, y) = 2 x − y + 3x4 − y2 + 1 ( d) f (x, y) = ( x − 2y2) + e−x2+y (e) f (x, y) = x cos(x + y) ( f ) f (x, y) = sin(2 x + y) (g) f (x, y) = arctan( x − y) ln(1 − xy) ( h) f (x, y) = x2 − 2y + 3 − cos(x − y). 1 2 (7) Determinare gli eventuali punti di max/min relativi/assoluti delle seguenti funzioni: (a) f (x, y) = x4 + y4 − 2(x − y)2 + 2 ( b) f (x, y) = sin( x + y) −…