II appello 31 01 24 traccia soluzioni

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NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] II Appello - 31 Gennaio 2024 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] Completare ciascuna frase scegliendo fraconvergente,divergenteoindeterminata: •La serie 1X n=2 1 n 1 n+2`e......... •La serie 1X n=2 1 n(logpn)2 `e......... •La serie 1X n=2 1 nlogn+s i nn2 `e......... 1 CONVERGENTE CONVERGENTE DVERGENTE 1-1= +2)N n+2 teogi= E inTe s q u i 1 ·togestogn Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] II Appello - 31 Gennaio 2024 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.1[1 punto] Dare la definizione di successione convergente. 1.2[1 punto] Dare la definizione di successioneannoninfinitesima. 1.3[1 punto] Dare la definizione di serie convergente. 1.4[1 punto] Siaanuna successione infinitesima,bnuna successione qualsiasi, e sia cn=t a n ⇥ esinbn(1 cosan) ⇤ Cosa si pu` o dire della successionecn? 2.Siaz=x+iyun numero complesso conx>0. 2.1[1 punto] Scriverezin forma esponenziale, esplicitando modulo e argomento in termini dixey. 2.2[1 punto] Pern 2i n t e r o ,s c r i v e r el er a d i c ic o m p l e s s en-esime diz, specificandone il numero. 2.3[1 punto] Pern 3, fornire una descrizione geometrica delle radici di znel piano complesso. 2.4[2 punti] Sian 2. Dettewk(k=1,2,...)l er a d i c ic o m p l e s s en-esime diz,s i definisca dn=m i nk6=j |wk wj| ovvero la minima distanza tra due radici distinte di z. Si calcoli quindi il limite limn!1 ndn 3.[3 punti] Dimostrare per induzione la formula (valida per ogni n=0,1,2,...) Z1 0 ( logx)ndx=n! e pertante limndn= Imin pm 22. (1-cosn- >0 n+0 = Im~ ..n->0 = InsC* .= zi n=0 3. Pern= o siha S. "Glogy)"dx= (. 1dx=1 0!= 1 =>Pd): (Floyx)dx= o! èvenficata Sed ↑(m): 10 "(-boyx)…