II itinere 10 01 24 traccia soluzioni

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Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] II Prova in Itinere - 10 Gennaio 2024 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.1.Enunciare il Teorema di Lagrange. [1 punto] 1.2.Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo I. [1 punto] 1.3.Dimostrare il Teorema di Rolle. [2 punti] 1.4.Dimostrare che sefha derivata nulla in un intervallo alloraf`e c o s t a n t e i n t a l e intervallo. [2 punti] 2.Trovare un esempio di funzione f:R!Rche presenti un flesso a tangente verticale inx=0eu np u n t oa n g o l o s oi nx=1 . [ 1p u n t o ] 3.Siaf:[ 0,1)!Runa funzione integrabile in [0,a]p e ro g n ia>0, e tale che f(x)!0p e rx!1.M o s t r a r e c h e [ 1 p u n t o ] limx!1 1 x Zx 0 f(t)dt=0 [Nota: non stiamo assumendo fcontinua, n´ e che ammetta primitiva; lo svolgi- mento dell’esercizio assumendofcontinua o dotata di primitiva assegna un pun- teggio solo parziale.] 1 Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] II Prova in Itinere - 10 Gennaio 2024 2. Esercizi [Tempo 60 min] 1.[3 punti] Stabilire se la funzione f(x)=xlogx 1+x ammette minimo assoluto. In tal caso, caratterizzare il punto (o i punti) di minimo assoluto. 2.[3 punti] Calcolare il limite limx!0 esinx xex3 coshx⇥ 1 cos(2x) ⇤ log(1 + tanx2+3x3) 3.[2 punti] Calcolare gli integrali definiti Z1 0 arctanxd x , Z1 0 arcsinxd x