Integrali multipli

Pagina 1

INTEGRALI MULTIPLI 1. Esercizi Esercizio 1. Calcolare ∫ ∫ D x − 2y + 1 x + y + 1 dxdy dove D ` e la parte finita di piano delimitata dalle parabole di equazione y = x2 e x = y2. Esercizio 2. Calcolare ∫ ∫ D x − 3 (x − 2)√y + 1 dxdy dove D ` e il triangolo di vertici A(1, 1), B(0, 2), O(0, 0). Esercizio 3. Calcolare ∫ ∫ D 4x2 + y2 − 1 (2x − y − 1)(2x + y + 1) dxdy dove D ` e il rombo di vertici A(1, 2), B(0, 4), C(−1, 2), O(0, 0). Esercizio 4. Calcolare ∫ ∫ D x + 2y − 2 2x2 + 2y2 − 1 dxdy dove D ` e la porzione di corona circolare di centro l’ origine e raggi 1 e 2 compresa tra le bisettrici del primo e del secondo quadrante. Esercizio 5. Calcolare ∫ ∫ D y log(x2 + y2) x dxdy dove D′ ` e il triangolo di vertici A(1, 0), B(1, 1), O(0, 0), e D ` e la parte di D′ esterna alla circonferenza di centro l’ origine e raggio 1 . Esercizio 6. Calcolare ∫ ∫ ∫ D x2 + y2 x2 + y2 + z2 dxdydz dove D ` e il dominio compreso tra le sfere di centro l’ origine e raggi 1 e 2 . Esercizio 7. Calcolare ∫ ∫ ∫ D x + y√ x2 + z2 dxdydz dove D ` e la parte del primo ottante ( x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0) interna alla sfera di centro l’ origine e raggio 2 ma esterna al cilindro x2 + z2 = 1. Esercizio 8. Calcolare ∫ ∫ D x2 y exydxdy dove D′ = {(x, y) ∈R2 | 1 2x ≤ y ≤ 1 x , 2x2 ≤ y ≤ 3x2}. 1 2 Esercizio 9. Trovare una parametrizzazione della sfera σ : x2 + y2 + z2 = R2 che sia regolare in A ( R√ 3 , R√ 3 , R√ 3 ) , studiarne le linee coordinate, e trovare l’ equazione del piano tangente a σ in A. Calcolare infine l’ area della porzione di sfera compresa tra i piani z = R/2 e z = R. 2. Svolgimento Soluzione dell’ Esercizio 1. Le due parabole si intersecano nei punti che risolvono il sistema { y = x2 x = y2 . Sostituendo la prima nella seconda equazione, otteniamo x = x4, da cui x = 0, oppure x3 = 1, ossia x =…