IV appello 01 07 24 traccia soluzioni

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NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] IV Appello - 1 Luglio 2024 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] ScrivereVEROoF ALSOaccanto a ciascuna a↵ermazione: •Sean!0ebn!0a l l o r al as e r i ePanbnconverge.......... •Ogni funzione limitataf:[ 0,1]!Rammette massimo.......... •Sefegsono due funzioni integrabili in senso improprio in (0,1), allora il loro prodotto fg` e integrabile in senso improprio in (0,1).......... 1 F F F · Scomom-bn= 1. Alloraon-o ,beto a In 1= +0 ambin= 1 xe[0,1)· sua f:[0,1)+ IR, f(x)= 3% x= 1 #Sup, maxt, fhtae [0,1] · scomof,g:(0,1)+ R, f(x)= g(x)= #. Alla 1+(dx= (3g(x)dx=x=2, (fkigh)(= fd+0 Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] IV Appello - 1 Luglio 2024 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.1[2 punti] Enunciare il Teorema di Weierstrass. 1.2[2 punti] Mostrare con opportuni esempi che rilassando le ipotesi del Teorema di Weierstrass la tesi ` e falsa. 1.3[2 punti] Dimostrare il Teorema di Weierstrass. 1.4[2 punti] Siaf:R!Runa funzione continua e tale che f(x)>08x2R e limx!+1 f(x)= l i mx! 1 f(x)=0 Mostrare chefammette massimo. 2.Siaf:R!Runa funzione assegnata 2.1[2 punti] Stabilire sotto quali ipotesi la funzione g(x)=l o g (f(x)) ` e integrabile in ogni intervallo diR. 2.2[2 punti] Trovare un esempio dif(non identicamente uguale a 1) tale cheZa a log(f(x))dx=0,8a>0. Stabilire quindi una condizione generale a nch´ e valga tale uguaglianza. 2 xe[o,1)1.2 Sof:[0,1]- R , f(x)= 3T x-E,1] I↓non econtinain[o,1, fronhamassimo Sef:[0,1)- >1R, f(x)= X Ildomnisdifnes échies,fnos hamassimo Se+:[0,0)-> (R, f(x)=X cdomnisdifnon éhitats, fnon hamassimo 1.4 Parchéf(xo XXeR,sup>0 SaE30, E<supfIR ParcheImf(x)=0 , in…