Limiti

Pagina 1

1 Lezione 1 - Limiti per funzioni di due variabili. Una funzione di due variabili ` e una mappa f : D ⊂ R2 → R, (x, y) ↦→ z = f (x, y). L’insieme D ` e detto dominio, o campo di esistenza, o insieme di definizione ; in generale se la funzione f ` e assegnata attraverso un’espressione algebrico-analit ica, e il suo dominio non ` e specificato, D ` e per convenzione l’insieme di tutte le coppie (x, y) per cui l’espressione pu` o essere calcolata. ♦ Come si determina il dominio delle funzioni di due variabili ? Bisogna risolvere disequazioni in due variabili di tipo f (x, y) > 0. • Si procede solitamente per via grafica, cercando la parte di p iano i cui punti hanno coordinate che la verificano. • Si comincia disegnando i punti che soddisfano f (x, y) = 0, in genere una o pi` u “curve”. • Queste curve dividono il piano in due o pi` u regioni (limitat e o illimitate) in ognuna delle quali f (se ` e continua) mantiene lo stesso segno, che pu` o quindi essere determinato valutando f in punto qualunque di tale regione. Definizione di limite Sia f : D ⊂ R2 → R e ( x0, y0) un punto di accumulazione per D. La formula lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = L si legge: f tende a L per (x, y) che tende a (x0, y0). Con questo intendiamo af- fermare che quando il punto (x, y) si avvicina ( senza mai toccarlo) a (x0, y0), il corrispondente valore della funzione f (x, y) si avvicina al numero L. La definizione rigorosa ` e la seguente: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : (x, y) ∈ D, 0 < √ (x − x0)2 − (y − y0)2 < δ ⇒ | f (x, y) − L| < ε. 2 ♦ Nota: la scrittura ( x, y) → (x0, y0) significa √ (x − x0)2 − (y − y0)2 → 0, che ` e equivalente a dire | x − x0| → 0 e | y − y0| → 0. ♦ Si tratta sostanzialmente della stessa definizione usata per funzioni di una vari- abile. Ci` o che cambia, nel passaggio alle funzioni di due…