Limiti notevoli da e

Pagina 1

7.Limiti notevoli ricavati da “e” Sappiamo che e) x / 11 (lim x x =+±∞ → (1) Ponendo 1/x=t abbiamo e) x1 (lim x/ 1 0x =+→ (2) Quest’ultimo limite può essere scritto anche nel seguente modo ) 1 ( oe) x1 ( x/ 1 +=+ (3) da cui ) 1 ( o1)) 1 ( o1log( elog ))] 1 ( o1 ( elog[ ) 1 ( oelog( ) x1log( x ) x1log( x/ 1 +=++=+=+=+=+ Dunque (4) log(1+x)/x=1+o(1) cioè (5) 0 x per →≈+ x) x1log( Dimostriamo ora che (6) x1e x ≈− Poniamo 0 x se 0t →→−= 1et x . Applichiamo il limite precedente e otteniamo: xelog 1e)) 1e (1log( x xx = −≈−+ da cui la tesi. Dimostriamo che (7) 0 x per →α≈−+ α x1) x1 ( Poniamo 1) x1 (t −+= α 1) x1 ( x 1) x1 ( ) x1log( 1) x1 ( ) x1log( t ) t1log( 1 −+ α≈−+ +α=−+ +=+≈ ααα α Riepilogo )x ( oxx xShx ) x ( ox1x1) x1 ( ) x ( ox1x1 x)x1log( 222 ++=≈ +=≈ +α+=+α≈−+ ++=≈− +=+≈+ αα 2 11Chx 2 11-Chx o(x) xShx x) (1 e e o(x) xx) log(1 cioè xx Esercizi =− =+ − =−+ − =+ + =+ + =− =−−+ → → ∞→ ∞→ ∞→ → ∞→ xSh eChx lim ) 7 ) x1 (log 1Chsinx lim ) 6 x ) 1)1x 1x(( lim ) 5 )3x 2x(lim ) 4 )2x 1xlog( xlim ) 3 ) 1e ( x / 1lim ) 2 ) 1) xlog ) xx(cos(log( x) 1 2 x 0x 20x 23 / 1 2 2 x x x 2 2 x sinx 0x xlim Soluzioni 1)L=1/2 2)L=1 3)L=0 4)L=1/e 5)L=-2/3 6)L=1/2 7)L= ∞