Matrice derivata o Jacobiana

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Venerdí 23 Ottobre 2009 Matrice Derivata o Jacobiana. Una funzione da R n a Rm equivale a un insieme di m funzioni f1, . . .fm da Rn a R, che possiamo chiamare "componenti" della funzione f. Se tutte le componenti fi sono continue la funzione è continua, e analogamente per la differenziabilità o la proprietà di essere C1. Data una funzione f da Rn a Rm possiamo considerare la matrice di tipo mxn le cui m righe sono costituite dai gradienti delle sue componenti fi. Tale matrice si dice matrice derivata o matrice Jacobiana della funzione f e si indica Df : Df /ue0a2x/ue0a3/u003d /u2202f1 /u2202x1 /u2202f1 /u2202x21 . . /u2202f1 /u2202xn /u2202f2 /u2202x1 /u2202f2 /u2202x2 . . /u2202f2 /u2202xn . . . . . . . . /u2202fm /u2202x1 /u2202fm /u2202x2 . . /u2202fm /u2202xn Nel caso in cui m /u003dn la matrice risulta quadrata, possiamo allora considerarne il determinante che viene chiamato Jacobiano e viene indicato Jf : Jf /u003ddet /u2202f1 /u2202x1 /u2202f1 /u2202x21 . . /u2202f1 /u2202xn /u2202f2 /u2202x1 /u2202f2 /u2202x2 . . /u2202f2 /u2202xn . . . . . . . . /u2202fn /u2202x1 /u2202fn /u2202x2 . . /u2202fn /u2202xn Esaminiamo il caso in cui si possono comporre due funzioni ve ttoriali, per esempio se : g : Rn /u2192Rm, f : Rm /u2192Rp : f /u2218g : Rn /u2192Rp (l’importante, per poter definire f /u2218g, è che l’immagine di g sia contenuta nel dominio di f/ue0a3. Se entrambe le funzioni f, g sono di classe C1 allora la funzione composta f /u2218g è anch’essa di classe C1 e la matrice derivata risulta il prodotto delle due matrici d erivate. Più precisamente abbiamo: D/ue0a2f /u2218g/ue0a3/ue0a2x/ue0a3/u003dDf /ue0a2g/ue0a2x/ue0a3/ue0a3 /u22c5Dg /ue0a2x/ue0a3 dove il prodotto /u22c5sta indicare l’usuale prodotto tra matrici. Si noti che Df /ue0a2g/ue0a2x/ue0a3/ue0a3è di…