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Probabilit` a e Statistica — 30.04.2015 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto setutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Domanda 1. Indicare quali delle seguenti funzioni ` e una densit` a di probabilit` a. f(x) = (2 x + 1)/2 se −1 ≤ x ≤ 1 e f(x) = 0 altrimenti, z f(x) = 2(1−x) se 0≤x≤ 1, f(x) = 0 altrimenti, f(x) = 1/2 se−1≤x≤ 2 e f(x) = 0 altrimenti, z f(x) = e−x se x≥ 0 e f(x) = 0 se x< 0. Domanda 2. SianoA,B eC tre eventi tali che valgono: P(A∩B) = P(A∩C) = 1/6 e P(B∩C) = 0. La probabilit` a P(A∩C|A∩B) ` e 1/6 z 0 1 non si pu` o calcolare perch´ e manca il valore diP(A∩ B∩C) Domanda 3. L’assioma di normalizzazione della probabilit` a dice che: bisogna sempre normalizzare la probabilit` a di un evento, z P(Ω) = 1, di norma ogni evento ha una certa probabilit` a, la probabilit` a di un evento ha densit` a normale standard. Domanda 4. Sia X1,X 2,.. una successione di variabi- li aleatorie indipendenti con densit` aB(1,p ) e X n = (X1+ ··· +Xn)/n. La diseguaglianza di Chebychev garantisce che: P{|X n−p(1−p)|>ε}≤ p ε2 n per ogni ε> 0, z P{|X n−p|>ε}≤ p(1−p) ε2 n per ogni ε> 0, per ogniε> 0, la successione (pn)n≥1 data dapn = P{|X n−p|>ε} risulta decrescente. Domanda 5. Siano X,Y due variabili aleatorie indi- pendenti con densit` a di binomialiB(n,p ),B (m,q ). V FzX +Y ∼B(n +m,p +q), V Fz se p =q, allora X +Y ∼B(n +m,p ), V FzP{XY = 0} =pn +qm−pnqm, V Fz2X∼B(2n,p ) e 2Y ∼B(2n,q ). Domanda 6. Sia X una variabile aleatoria la cui funzione di ripartizione FX ha il grafico disegnato in figura. -2 -1 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F(x) Apporre i corretti valori di verit` a V Fz P{X = 0.5} = 0.2 V Fz P{X = 1.5} = 0 V Fz…