Parte esercizi

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30.04.2015 — Esercizi Esercizio 1 Le lampadine della ditta Bellalamp hanno una durata T (misurata in migliaia di ore) la cui funzione di ripartizione ` e FT (t) = P{T≤t} = { 0 t< 0 1−e−t2/2 t≥ 0. La Bellalamp vuole trovare il valore t∗ tale per cui il 95% delle lampade prodotte abbia una durata superiore a t∗. 1.1 Determinare t∗. Soluzione: Occorre porre P{T >t∗} = 0.95 e cio` eP{T≤t∗} = 0.05, onde 1−e−(t∗)2/2 = 0.05 ⇒ t∗ = √ −2 ln 0.95≃ 0.3203. 1.2 Le lampadine Bellalamp sono vendute in confezioni da 10, determinare la probabilit` a che in una confezione vi siano almeno 2 lampadine la cui durata (in migliaia di ore) non supera il valore t∗ precedentemente trovato. Soluzione: Sia X = “numero di lampadine la cui durata non supera t∗”, possiamo dire che X ∼ Binom(n = 10,p = 0.05), pertanto P{X≥ 2} = 1− P{X≤ 1} = 1− ( 0.9510 + 10· 0.05· 0.959 ) ≃ 0.0861. 1.3 Calcolare la probabilit` ap0 che una lampadina duri meno di 100 ore; calcolare quindi la probabilit` a che su 50 confezioni (ossia: 500 lampadine) vi siano almeno 3 lampadine che durano meno di 100 ore. Soluzione: Usando la funzione di ripartizione, si trova p0 = P{T <0.1} = FT (0.1)≃ 0.0050; sia ora X = “numero di lampadine la cui durata non supera 100 ore”, possiamo dire cheX∼Binom(n = 500,p = p0 = 0.005), possiamo approssimare X con una variabile di Poisson il cui parametro ` e λ =np0 = 2.5, sia dunque Y ∼Poisson (2.5), abbiamo P{X≥ 3}≃ P{Y ≥ 3} = 1− P{Y ≤ 2} = 1− ( e−2.5 + 2.5·e−2.5 + (2.5)2 2 ·e−2.5 ) = 1− 6.625·e−2.5≃ 0.4562 il valore esatto ` e P{X≥ 3} = 1− P{X≤ 2} = 1− [ P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} ] = 1− [(500 0 ) · 0.0050· 0.995500 + (500 1 ) · 0.0051· 0.995499 + (500 2 ) · 0.0052· 0.995498] ≃ 0.4565. 1.4 Calcolare la probabilit` ap1 che una lampadina duri meno di 1000 ore; calcolare quindi la probabilit`…